distribucion binomial

TEMA 4. MODELOS DE PROBABILIDAD
DISCRETOS

4.1 Distribución binomial
4.1.1 Definición. Ejemplos
4.1.2 La media y la varianza
4.1.3 Uso de tablas
4.1.4 Aditividad
4.2 Distribución de Poisson
4.2.1 Definición. Ejemplos
4.2.2 La media y la varianza
4.2.3 Uso de tablas
4.2.4 Aditividad
4.2.5 Aproximación de Binomial a Poisson

113

4.1 Distribución binomial
4.1.1 Definición.Ejemplos
Sea un experimento aleatorio en el que sólo puedan darse
dos posibilidades: que ocurra un determinado suceso A, que
llamaremos éxito, o que no ocurra dicho suceso, o sea que
ocurra su complementario, que llamaremos fracaso, A.
Se conoce la probabilidad de ocurrencia del suceso A, y
por lo tanto la de su complementario:

( )

P ( A ) = p ; P A =1− p = q
Se repite el experimento nveces en las mismas
condiciones (independencia). Se define la variable aleatoria
Binomial :
X: “nº de veces que ocurre el suceso A (nº éxitos) en n
realizaciones independientes del experimento”
Por lo tanto, X: 0, 1, 2 , 3, ……n

X → B (n; p )
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Función de probabilidad

()

P( X = r ) = n p r q n − r
r
n!
=
pr qn − r
r !( n − r )!
r : 0,1, 2,..., n

Puede comprobarse que severifica:

n

∑

r =0

P( X = r ) =

∑(
n

r =0

)

n p r q n−r = 1
r

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♦ Ejemplos

•

Nº de caras al lanzar 20 veces una moneda

•

Nº de aprobados si se presentan 80 alumnos a un
examen

•

Nº de familias con un solo hijo en una población de
120 familias

•

Nº de reacciones negativas ante un fármaco
administrado a 40 pacientes

•

Nº de accidentesde tráfico si han circulado 1200
automóviles

•

Nº de semillas que germinan de las 20 semillas que
se han plantado en suelos de idéntica composición

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4.1.2 La media y la varianza
Media

µ = E[ X ] =

n

∑ rP( X = r ) = np

r =0

Varianza
2

Var[ X ] = σ =

n

(r − µ )2 P ( X = r ) = npq
∑

r =0

♦ Ejemplo
Diez individuos, cada uno de ellos propenso a latuberculosis, entran en contacto con un portador de la
enfermedad. La probabilidad de que la enfermedad se
contagie del portador a un sujeto cualquiera es de 0.1.
¿Cuántos se espera que contraigan la enfermedad?
Solución:

X → B (10; 0.1) ⇒ E( X ) = 10 × 0.1 = 1
117

4.1.3 Uso de tablas

♦ Ejemplo
La probabilidad de que cierto antibiótico presente una
reacción negativa aladministrarse a un ave rapaz en
recuperación es de 0.15. Si se les ha administrado dicho
antibiótico a 10 aves, calcúlense las probabilidades de que
haya reacción negativa:
a. En dos aves
b. En ningún ave
c. En menos de 4 aves
d. En más de 3 aves
e. Entre 2 y 5 aves
Solución:
Suceso A : " A un ave se le presenta reacción negativa "
X :" n º de aves a las que se les presenta tal reacción "
P ( A )= 0.15 ; n = 10 ; X → B (10 ; 0.15)
a. P ( X = 2) = 0.2759
b. P ( X = 0) = 0.1969

118

c. P ( X < 4) = P ( X ≤ 3) = P ( X = 0) + P( X = 1) +
+ P ( X = 2) + P ( X = 3) = 0.1969 + 0.3474 +
+ 0.2759 + 0.1298 = 0.95
d . P ( X > 3) = 1 − P ( X ≤ 3) = 1 − ( P( X = 0) + P( X = 1) +

+ P ( X = 2) + P ( X = 3) ) = 1 − ( 0.1969 + 0.3474 + 0.2759 +
+0.1298 ) = 0.05

e. P (2 ≤ X ≤ 5) = P ( X =2) + P( X = 3) + P( X = 4) +
+ P ( X = 5) = 0.2759 + 0.1298 + 0.0401 + 0.0085 =
= 0.4543

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Un hombre y una mujer, cada uno con un gen recesivo
(Azul) y uno dominante (Marrón) para el color de los ojos,
son padres de tres hijos. ¿Cuál es la distribución de
probabilidades para X, número de hijos con ojos azules?
E = {(AA), (AM), (MA), (MM)}
A = “Ojos Azules”; P ( A ) = p =1/4; n = 3X = {Nº de hijos con ojos azules de 3 hijos}
X → B (n ; p) = B (3; 0.25)
r
n− r
n  p r q n− r =  3  1   3 
; r = 0, 1, 2, 3
P( X = r ) =  r 

 r    
 
  4   4 
0

P( X

 
= 0) =  3   1 
 0  
  4 

P( X

3  
=1) =  1   1 

  4 
 

 3
 
 4
 
2

P( X

 
= 2) =  3   1 
 2  
  4 

3...