bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.
Propiedades[editar · editar código]
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del ángulo
Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulosy sus bisectrices se cortan conformando ángulos rectos entre ellas.

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.
Aplicación entriángulos[editar · editar código]
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O laintersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C) y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferenciacuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
Propiedades en un triángulo inscrito[editar · editar código]

Considere el triángulo A,B,C y la circunferencia circunscrita. La mediatriz M,N, del lado B,C corta el arco B,M,C en su punto medio. Como el ángulo inscrito B,A,C subtiende dicho arco, los ángulos B,A,M y M,A,C soniguales y la recta A,M resulta ser la bisectriz del ángulo B,A,C. Las rectas A,N y A,M son ortogonales, porque el lado M,N del triángulo A,M,N es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta A,N es bisectriz del ángulo exterior al triángulo A,L,C en el vértice A.
Por lo anteriormente expuesto: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectricesdel ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita.
Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos.GF FG





















La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos delsegmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.


Construcción gráfica de la mediatriz con regla y compás.
Índice
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1 Trazado de la mediatriz de un segmento con regla y compás
2 Aplicación en triángulos
2.1 Demostración
3 Circuncentro
4 Véase también
Trazado de la mediatriz de un segmento con regla ycompás[editar · editar código]
Dado un segmento, se puede obtener su mediatriz del siguiente modo:
- Abrir el compás, a una distancia mayor a la mitad de la longitud del segmento o recta
- Trazar dos arcos de circunferencia con centros en los extremos del segmento.
- La recta que se forma es la mediatriz del segmento que se iría a formar
Recordando que la formación de esta se hace con compás y reglaAplicación en triángulos[editar · editar código]
Las tres mediatrices de cualquier triángulo se intersecan siempre en un solo punto denominadocircuncentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia circunscrita al triángulo. Las mediatrices son como muestra en la siguiente imagen:----->
Demostración[editar · editar...