aritmetica 2

TEMA 1.- ARITMÉTICA
1.1.- ARITMÉTICA ENTERA
Principio del buen orden: Todo subconjunto no vacío de N tiene un primer elemento
Propiedades de la suma y el producto en Z


Son operaciones internas en Z



Son asociativas y conmutativas



Ambas tienen neutro, el de la suma es 0 y el de la multiplicación es 1.



El producto es distributivo respecto a la suma: a·(b+c) = (a·b) +(a·c)



Todo elemento tiene opuesto respecto a la suma



Si a·b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0

Suelen resumirse las propiedades anteriores diciendo que (Z,+,·) es un dominio con 1, y que
(Z,+) es un grupo conmutativo o abeliano.
Definición Siendo a, b ∈ Z, diremos que b es mayor que a, si existe un natural n tal que
b=a+n. Lo denotaremos por b > a.
Siendo b, c ∈ Z, diremos que b divide ac, si existe un entero q tal que c = q·b. Lo
denotaremos b|c.
Propiedades de Z respecto a la división y el producto
1. a·0 = 0
2. a(–b) = –ab

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Si a ≠ 0, ab = ac ⇒ b = c
Si a ≠ 0 y a|b ⇒ a|bk, ∀ k∈Z
Si a ≠ 0, b≠ 0 a|b y b|c ⇒ a|c
Sea a ≠ 0 si a|b, a|c ⇒ a|(xb+yc) para cualquier par de enteros x e y
a,b > 0, a|b ⇒ a ≤ b
a ≠ 0, b ≠ 0, a|b, b|a ⇒ a = b ó a = –bSi a ≤ b, m > 0 ⇒ am ≤ bm
Si a ≤ b, m < 0 ⇒ am ≥ bm

Demostración (usando las propiedades de la suma y el producto):

1. a·0 = a·(0+0) →

a·0 + a·0 = a·0. Sumando su opuesto –a·0 nos queda 0 + a·0 = 0. Pero,
como 0 es el neutro de la suma, nos queda a·0 = 0
2. Veamos que a(–b) = –ab. Como el opuesto es único, basta ver que ab + a(–b) = 0.
Esto es así porque ab + a(–b) = a(b–b) = a·0 =0
3. Sea a ≠ 0 y ab = ac. Luego ab + (–ac) = ac + (–ac), y ab–ac = 0 y a(b–c) = 0. Como a ≠ 0
tendrá que ser b–c = 0 ⇒ b = c.
4. a|b ⇒ b = aq, luego bk = aqk. Sea q’ = qk, entonces bk = aq’ y por tanto a|bk.
5. Se cumple porque c = bk, y a|b ⇒ a|bk
6. a|b, a|c ⇒ b = aq1, c = aq2.
bx + cy = aq1x + aq2y = a(q1x + q2y) = aq ⇒ a|bx + cy
7. a|b ⇒ b = aq. Como a, b son positivos, q es positivo.Por tanto, podemos escribir
q veces

b = a + ... + a = a + (a +

q −1 veces

...

+ a) = a + s

Como q es positivo y entero, q–1≥ 0, por tanto s≥ 0. De b = a + s se deduce que a ≤ b.

8.

a | b ⇒ b = aq1 
 a = (aq1)q2 ⇒ q1·q2 = 1 ⇒ q1 = q2 = 1 ó q1 = q2 = –1, por lo que a = b ó a = –
b | a ⇒ a = bq 2 
b.

9. Si a ≤ b, debe existir un natural n con b = a + n. Ahora, almultiplicar por m, tenemos bm =
= am + nm y, dado que nm es un número natural porque m > 0, tenemos que am ≤ bm.
La otra afirmación se demuestra de forma semejante.
Valor absoluto
Llamaremos valor absoluto a la aplicación f : Z→Z que a cada m ∈Z le asocia |m|, definido
por |m|=max{m,-m}
Propiedades del valor absoluto en Z

1. |a| = 0 ⇔ a = 0

2. |a·b| = |a| · |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. k> 0 y |a| ≤ k ⇔ –k ≤ a ≤ k
Demostración:
Vamos a demostrar solamente que |a + b| ≤ |a| + |b|:
Se presentan tres casos:
1. a, b ≥ 0, en este caso a + b ≥ 0. Por tanto |a + b| = a + b = |a| + |b|
2. a, b < 0, luego a + b < 0. Tendremos |a + b| = – (a + b) = (–a) + (–b) = |a| + |b|
3. a ≥ 0, b 0 con x, y∈Z}. Como |a| = a (± 1) + 0b, y |a|>0,
tendremos que |a| está en M y este conjunto es novacío. Por el principio de la buena
ordenación M tiene un primer elemento que llamaremos d. Como d∈M, existen x1, y1∈Z tal
que d = ax1+ by1. Llegados a este punto tenemos que:
 d es divisor común de a y b:
Si d no dividiese al número a, se cumpliría a = dq + r con 0 < r < d (algoritmo de la
división). Por tanto r = a–dq = a – (ax1 + by1)·q = a·(1 – x1·q) + b(–y1·q), con lo que vemos
que r∈M.Sin embargo no es posible que r∈M y r < d porque definimos d como el primer
elemento
de
M.
La contradicción se resolvería si r = 0, por tanto d|a y, análogamente, podemos probar que
d|b.
 d es el máximo común divisor:
Sea d’ tal que d’|a, d’|b. Esto implica d´|(ax + by), pero como d = ax + by entonces d´|d.
 d es único:
Si existieran d1, d2 = mcd(a,b), por definición de mcd cumplirían...