Aritmetica

INTRODUCCION A LA ARITMETICA  

En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética es la afirmación de que todo entero positivo se puederepresentar como producto de factores primos de una forma única, salvo el orden.
Por ejemplo, podemos escribir
6936 = 2³ · 3 · 17²  
1200 = 24 · 3 · 5²
y no existe ninguna otra factorización de 6936 y1200 en números primos, excepto cambiando el orden de los factores anteriores.
Para hacer que el Teorema vaya bien con el número 1, pensaremos en 1 como el producto de cero factores primos (véaseproducto vacío).
Aplicaciones
El teorema establece la importancia de los números primos.
En esencia, son los "ladrillos básicos" con los que se "construyen" los enteros positivos, en el sentido de quetodo entero positivo puede construirse a partir de los números primos de una única manera.
Conocer la factorización de un número en factores primos es conocer todos y cada uno de los factores delmismo.
Por ejemplo, la factorización de 6936 nos dice que los factores positivos de 6936 son de la forma
2a · 3b · 17c
con [0 ≤ a ≤ 3], [0 ≤ b ≤ 1], y [0 ≤ c ≤ 2]. Esto supone un total de 4 · 2 · 3= 24 factores positivos.
Una vez que se conoce la factorización de dos números en sus respectivos factores primos, se puede hallar fácilmente su máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo(m.c.m.).
Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200, podemos inferir que su m.c.d. es 2³ · 3 = 24.
Sin embargo, si no se conocen los factores primos, el uso del algoritmo deEuclides, en general, requiere muchos menos cálculos que la factorización de los dos números.
El teorema fundamental asegura que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas estáncompletamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.
Demostración
Existen varias pruebas de este teorema que fue descubierto por los griegos hace más de dos milenios: las pruebas...