Apuntes De Producto Interno(Algebra Lineal)

Tema 4

Producto Interno

Álgebra Lineal
Profra: Ing. Jacquelyn Martínez Alavez
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Objetivo: El alumno determinará si una función es un producto interno y analizará sus
características fundamentales a efecto de aplicarlo en la resolución de problemas de
espacios vectoriales.
4.1 Definición de producto interno ysus propiedades elementales.
Se ha visto que en un espacio vectorial se tiene la posibilidad de establecer varias
operaciones, una de ellas en particular es el producto interno y se denota como:




(a |b )

o bien como






Definición
Sea V un espacio vectorial sobre C. Un producto interno en V
es una función de VxV en C que asigana a cada pareja ordenada

 u, v  devectores de V



un escalar u | v  C, llamado el producto

u por v, que satisface las siguientes propiedades:

  
ii)  u | v  w    u | v    u | w 
iii)  u | v     u | v 
iv)  u | u   0 si u  0
i) u | v  v | u

Teorema
Sea V un espacio vectorial sobre C y sea

|

un producto

interno en V; entonces, u , v  V y   C :

 
ii )  u | u   Riii )  0 | u   0   u | 0 
iv )  u | u   0  u  0
i) u |  v   u | v

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4.2 Definición de norma de un vector y sus propiedades, vectores unitarios.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Definiciónde distancia entre vectores y sus
propiedades. Definición de ángulo entre vectores. Vectores ortogonales.


Norma de un vector

La idea de magnitud de un vector se introduce formalmente con el concepto de norma,
la cual se define como:

  1/2
|| v || = ( v | v )
* Propiedades de la norma de un vector



1.- || v ||= 0; si v = 0


2.- || v || > 0, si v  0






3.- || α v || = |α| || v ||



4.- || u + v ||  || u ||+ || v ||



Vectores unitarios



Se dice que un vector es unitario si || v ||= 1. Además cabe destacar que se puede hacer a
un vector unitario si se divide entre su norma.


v

|| v ||


Distancia entre vectores

Dados 2 vectores de un espacio vectorial, la distancia entre ellos se calcula mediante lasiguiente expresión:







d ( u , v ) = || u - v || = || v - u ||

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Teorema
Si V es un espacio vectorial con producto interno,entonces
u , v, w  V :


ii ) d  u, v   0 Si ysólo si u  v
iii ) d  u, v   d  v, u 
iv ) d  u , w   d  u, v   d  v, w 
i ) d u, v  0



Ángulo entre vectores

Definición
Sea V un espacio vectorial con producto interno real,
y sean u, v dos vectores no nulos de V. Se llama ángulo
entre u y v al número real , en el intervalo 0     ,
tal que

cos 

u | v 
u

v

Si el campo de definición es elcomplejo, entonces se utiliza la siguiente expresión:



Cos  = R ( u | v )

|| u || || v ||





donde R ( u | v ) indica la parte real de ( u | v ).

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

Desigualdad de Cauchy-SchwarzSea un espacio vectorial sobre  2 con producto interno definido (• | •) en V, entonces:



u, v  V







|( u | v ) |2  ( u | u ) ( v | v )
Si se cumple la igualdad, entonces los vectores son linealmente dependientes.



Vectores ortogonales



Dado el espacio vectorial V sobre el campo K, y los vectores u , v  V, para el

producto interno definido...