Aplicaciones

Cap´ ıtulo 1 DETERMINANTES

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1.1.

DETERMINANTES DE 2o ORDEN
a11 a12 . Se define el determia21 a22 a11 a12 = a11 · a22 − a12 · a21 a21 a22

Sea A una matriz cuadrada de segundo orden A = nante det(A) = |A| =

1.2.

 a11 a12 a13 Sea una matriz cuadrada de tercer orden A = a21 a22 a23 . Se define el determia31 a32 a33 a11 a12 a13 nante det(A) = |A| = a21a22 a23 = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 − a31 a32 a33 a12 · a21 · a33 − a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 Esta expresi´n se puede recordar f´cilmente con ayuda del esquema conocido como o a regla de Sarrus. (Unir con una linea las a b c c c a b ⇒ T´rminos con signo + b e b c a a letras iguales) b a a c ⇒ T´rminos con signo − e c b

DETERMINANTES DE 3er ORDEN. REGLA DE SARRUS

Ejemplo 1 2 3 4 5 6 = 1·5·9+2·6·7+4·8·3−3·5·7−2·4·9−6·8·1 = 45+84+96−105−72−48 = 7 8 9 225 − 225 = 0

1.3.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
det(A) = det(At )

1.- El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta.

2.- Si un determinante tiene una l´ ınea de ceros vale cero. 3.- Si un determinante tiene 2 l´ ıneas paralelas iguales, este determinante valecero. 4.- Si un determinante tiene 2 l´ ıneas paralelas proporcionales, este determinante vale cero.

Juan Puerma Medel

http://perso.wanadoo.es/jpm

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5.- Si en un determinante intercambiamos entre s´ 2 l´ ı ıneas paralelas el determinante cambia de signo. 6.- Si se multiplican (o dividen) por k = 0 todos los elementos de una l´ ınea, el determinante queda multiplicado(o dividido) por k. α · x1 + β · y1 a12 · · · a1n α · x2 + β · y2 a22 · · · a2n 7.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = α · .............................. α · xn + β · yn an2 · · · ann x1 a12 · · · a1n x2 a22 · · · a2n .................. +β· .................. xn an2 · · · ann y1 a12 · · · a14 y2 a22 · · · a24 .................. .................. yn an2 · · · ann

8.-El valor de un determinante no var´ si a los elementos de una l´ ıa ınea ´ se les suma otra paralela multiplicada por un numero. ınea que es combinaci´n lineal de otras paralelas, este o 9.- Si un determinante tiene una l´ determinante es nulo. 10.- Si A y B son dos matrices cuadradas, entonces: det(A · B) = det(A) · det(B) 11.- Si A es regular, entonces: det(A−1 ) = 1 det(A)

1.4.

MATRIZCOMPLEMENTARIA. ADJUNTO

Sea A una matriz cuadrada de orden n y aij uno de sus elementos. Si en A se suprime la fila “i” y la columna “j” se obtiene una submatriz cuadrada de orden n − 1, que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij y que representaremos por Bij . Se llama adjunto del elemento aij , y se representa por Aij a Aij = (−1)i+j · det(Bij ) Es decir el adjunto de unelemento es el determinante de la matriz que se obtiene suprimiendo la fila y la columna de dicho elemento, precedido del signo + o − seg´n que i + j u sea par o impar.

1.5.

REGLA DE LAPLACE

El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una l´ ınea (fila o columna) cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir, tomando la fila “i” setiene:
j=n

|A| = ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + . . . + ain · Ain =
j=1

aij · Aij

Juan Puerma Medel

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Ejemplo 1 0 1 2 −1 1 2 −1 Sea el determinate |A| = 1 3 2 2 2 −1 0 1 Los adjuntos de los distintos elementos tienen los siguientes signos:   + − + − − + − +   + − + − − + − + Desarrollando por los adjuntos de la primera fila setiene: −1 1 2 −1 1 −1 −1 2 −1 1 2 −1 3 2 = 3 2 −2· 1 |A| = 1 · 3 2 −1 − 0 · 1 2 3 + 1 · 1 2 −1 0 2 −1 1 2 0 1 −1 0 1 1 · (−10) + 0 + 1 · 5 − 2 · (−12) = −10 + 5 + 24 = 19.

1.5.1.

REGLA DE CHIO

El mismo resultado se puede obtener haciendo ceros en la primera fila, utilizando la propiedad n´mero 8 de los determinantes. u En efecto, sumando a la tercera columna la primera columna multiplicada...