Aplicación De La Derivada

INTRODUCCIÓN

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ellocontribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

En esta presentación pondremos ejercicios tratando de valorizar la derivada de una función en un punto como indicador matemático de la rapidez instantánea de variación o tasa instantánea de variación de una función.
En distintas disciplinas como Electricidad,Electrónica. Termodinámica, Mecánica, Economía, Biología, etc. Resulta de importancia fundamental no solo saber que determinada magnitud o cantidad varía con respecto a otra, sino conocer también cuán rápido se produce esa variación.
Es una breve explicación y algunos ejercicios de cómo podemos aplicar las derivadas en éstas disciplinas

Aplicación de las derivadas a la economía
Las derivadas eneconomía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

SERIE DE EJERCICIOS
APLICACIÓN A LA ECONOMÍA
EJERCICIO 1
Una empresa estima que el coste, en dólares,de producción de unidades de cierto producto es. Calcular el nivel de producción que hace mínimos coste medio por unidad.
Solución:
Sustituyendo C de la ecuación dada se obtiene

Haciendo la derivada dC dx igual a cero resulta

Costo promedio
El costo de fabricar x localizadores
C(x) = $10 000 + 3x +
El nivel de producción actual es de x=5000 y aumenta en 100 unidades al día.
¿Cómocambia el costo promedio?
Solución
A. El problema
1) Las cantidades que cambian son el nivel de producción, x y el costo promedio C.
2) reformulamos el problema como sigue: El nivel producción x es 5000 unidades, y la razón de cambio de x es 100 unidades/día. ¿Cuál es la razón de cambio del costo promedio C? en notación matemática.

B. La relación
1) Las cantidades que cambianno se pueden representar geométricamente con facilidad.
2) El dato es una fórmula para el costo total. El costo promedio se obtiene dividiendo al costo total entre x:

Entonces,

3) Al calcular las derivadas de ambos lados respecto a t se obtiene la ecuación derivada:

C) La solución
Sustituimos los valores de la parte A en la ecuación derivada, así:

Por consiguiente, el costopromedio está disminuyendo en 3c de dólar al día.

EJERCICIO 2
RUBÍES
La demanda de rubíes de Royal Ruby Retailers (RRR) se presenta por la ecuación

Donde p es el precio en dólares, que cobra RRR por rubí, y q es la cantidad de rubíes que vende a la semana. Calcule la elasticidad de la demanda a un precio de $40 por rubí y determine cuando debe aumentar o disminuir el precio para incrementarel ingreso.
Solución
Comenzaremos determinando la elasticidad con la fórmula

Al calcular la derivada de la primera ecuación, y sustituir q se tiene

Cuando p = $40, la elasticidad es

Así, cada aumento porcentual en el precio de los rubíes causará una disminución en las ventas del doble del porcentaje. RRR perderá más por ventas perdidas que lo que ganará por el precio más alto. Enconsecuencia, no debe aumentar el precio. De hecho, RRR debe bajar el precio, porque entonces el aumento en las ventas compensará con creces la disminución en el precio.
Pregunta. ¿Qué precio hará que se obtenga el ingreso máximo?
Respuesta. Si la demanda es elástica, como en este caso, entonces el precio es demasiado alto. Si la demanda es inelástica, entonces el precio es demasiado bajo y...