WMora Vectores Rectas Planos

Walter Mora F.

Notas sobre

Vectores, Rectas y Planos
-Puede ver y manipular las figuras en 3D haciendo clic sobre ellas (necesita una conexión a Internet)
—-PDF interactivo. Primera edición

Revista digital
Matemática, Educación e Internet. (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).

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expresa o implícita.

Índice general

Prólogo

6

1

Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1

Operaciones Básicas

10

1.2Propiedades de los vectores

14

1.3

Producto punto y norma.

15

1.4

Ángulo entre vectores en R3 .

18

1.5

Paralelismo, perpendicularidad.

21

1.6

Proyección ortogonal

21

1.7

Producto Cruz en R3

25

2

Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1

Rectas en R3 .

33

2.2

Distancia de unpunto a una recta

37

2.3

Rectas en R2

38

2.4

Ecuación vectorial del plano

39

2.5

Ecuación normal y cartesiana del plano

39

2.6

Paralelismo, perpendicularidad y ángulo

42

2.7

Intersección entre recta y plano.

46

2.8

Distancia mínima de un punto a un plano.

47

2.9

El punto de un plano más cercano a un punto dado.

47

2.10

Proyección ortogonal sobre un plano.

49

3

Rotaciónde un punto alrededor de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliografía

56

Prólogo

Uno de los objetivos de este libro es la visualización en 3D. La mayoría de figuras en 3D tienen una liga a un
applet Java (debe tener una conexión a Internet y el plugin de Java instalado), en este applet el lector puede
manipular las figuras con el ratón.Cartago, Agosto 2014.

W. M ORA F. (wmora2@itcr.ac.cr)

1 — Vectores

A partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos (a, b) ∈ R2 se asocian con puntos de un
plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares
donde la interseccón representa al origen de coordenadas (0, 0) y cada par ordenado (a, b) se asocia conun punto de
coordenada a en la recta horizontal (eje X ) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y ).
Analógamente, los puntos (a, b, c) ∈ R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas
mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X , Y y Z ).
.

Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)Figura 1.1: Punto (a, b)
Figura 1.2: Punto (a, b, c)

Si vemos a R2 y R3 como “espacios vectoriales” (con la suma y el producto escalar usual), sus elementos son “vectores”
que se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en el plano X Y o en el espacio tridimensional. La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.Notación. Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba tales como #»
v , #»
y , #»
z . Los puntos se
denotarán con letras mayúsculas tales como A , B , C . En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados

Vectores

10

(a) Vector #»
v = (a, b)

(b) Vector #»
v = (a, b, c)

escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como α, β, k.

#»...