Vectrores, rectas y planos
Páginas: 28 (6765 palabras)
Publicado: 1 de diciembre de 2011
Nolan Jara J. VECTORES
FCE-UNAC
Definición de puntos en un espacio de n dimensiones. Se define un punto en el espacio de n dimensiones como la n-upla de números reales ( x1 , x2 ,......, xn ); x1 , x2 ,......, xn denota con una P a dicha n-upla. Es decir:
R ;se R ;se
P
( x1 , x2 ,......, xn ); x1 , x2 ,......, xn
designa a los números reales x1 , x2 ,......, xn como lascoordenadas del punto P. Ahora vamos a definir como sumar puntos. Si P y Q son puntos por ejemplo:
P
( x1 , x2 ,......, xn ); Q ( x1 y1 , x2
y1 , y 2 ,......, y n ) se define entonces: yn ) cP R (cx1 , cx 2 ,......, cx n )
P Q
y 2 ,......, xn
Si c es cualquier número, se define
VECTORES EN EL ESPACIO ( R3 o V3 ) : Dos puntos: P0
( x0 , y 0 , z 0 )
y P 1
( x1 , y1 , z1 )determinan un segmento de recta que podría ser recorrido en dos sentidos uno de P 0 a P1 y otro de P1 a P0 llamados vectores
a y a.
a
P0 P 1 P0
P1 Definido como
a
P0 P 1
P 1
P0
a
P0 P 1
(P 1
P0 )
P0
P 1
a P0
P0 P 1
P1
a1
Donde:
a P0 P 1 (P 1 P0 ) (a1 , a2 , a3 )
x1 y1 z1
x0 y0 z0
tal que:
a2 a3
Los números a1 , a 2 , a3 se llaman,componentes del vector a es el punto inicial del vector a; P1
P0 P donde: P0 1
( x0 , y 0 , z 0 )
( x1 , y1 , z1 ) es el punto final del vector a .
P recibe el nombre de
Cuando el punto inicial es el origen de coordenadas, un vector OP radio vector.
-1-
Nolan Jara J.
FCE-UNAC
IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores a
PQ (a1 , a2 , a3 ) y b
RS
(b1 , b2 , b3 )
Soniguales, si y solo si sus respectivas componentes son iguales, es decir:
a b a1 b1 , a 2 b2 , a3 b3 (a1 , a 2 , a3 ); b (b1 , b 2 , b3 )
OPERACIONES CON VECTORES.- dados los vectores a Entonces: 1º) a 2º) a 3º) r a
b b (a1 b1 , a 2 (a1 b1 , a 2 b 2 , a3 b 2 , a3 b3 ) b3 ) a ( b)
(ra1 , ra 2 , ra 3 ) producto de un vector por un escalar r
VECTORES PARALELOS: Dos vectores son paralelos si ysolo si uno de ellos es el múltiplo escalar del otro. Es decir:
a b a r b ;o b t a; r , t R
MODULO DE UN VECTOR: Si a
P0 P entonces: 1
d ( P0 , P ) 1
( x1
x0 ) 2
( y1
y0 ) 2
( z1
z0 ) 2
a12
2 a2
2 a3
a
El modulo del vector a
( a1 , a 2 , a 3 ) se denota y define como:
2 a3
a
2 a1
2 a2
PROPIEDADES: Sean a
( a1 , a 2 , a3 ); b (b1 , b2 ,b3 ), r
; entonces:
i)
a
0; a
0
a
(0,0,0)
-2-
Nolan Jara J.
FCE-UNAC
ii)
r a
r
a
iii)
a
b
a
b
desigualdad triangular
VECTOR UNITARIO: Un vector de moduelo o longitud igual a 1 se llama vector unitario. Dado un vector a . El vector unitario u
a a
tiene el mismo sentido que el vector a
El vector unitario u
a a
tiene sentidoopuesto que el vector a
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: (o PRODUCTO INTERNO): El producto escalar de a
( a1 , a 2 , a3 ) y b (b1 , b2 , b3 ) se denota y define como:
a .b
a1 .b1
a 2 .b2
a3 .b3
3
PROPIEDADES: Sean a , b , c vectores en 1º) a . b
yr
entonces:
b.a
2º) (r a ). b 3º) a .( b c ) 4º) a . a
r (b . a ) a.b a. c
0
a
0
2
5º) a . a
a
-3- Nolan Jara J.
2 2 2
FCE-UNAC
6º) a b 7º)
a
a
2 a.b
a ( b .c ) ( a .b ) c
Ortogonalidad de vectores: Dos vectores a Son ortogonales por definición si: a
( a1 , a 2 , a3 ) y b
(b1 , b2 , b3 )
b
a
b
o también.
a
b
a .b
0
2 2 2
a
b
a b
a
b
Proyección Ortogonal y Componente: se llama proyección ortogonal de a sobre b , alVector:
Pr oy
b
a
a.b
2
b
; b
0
b
a
Pr oy a
b
a.b b
b2
b
-4-
Nolan Jara J.
FCE-UNAC
Se llama componente de a sobre b al número real:
Comp a
b
a .b b
; b
0
Obs. Como Pr oy a
b
a .b
2
b =
a .b b
b b
b
1º Pr oy a
b
comp a
b
b b
2º Pr oy a
b
comp a
b
ANGULOS ENTRE VECTORES. Dado los vectores a y b...
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Definición de puntos en un espacio de n dimensiones. Se define un punto en el espacio de n dimensiones como la n-upla de números reales ( x1 , x2 ,......, xn ); x1 , x2 ,......, xn denota con una P a dicha n-upla. Es decir:
R ;se R ;se
P
( x1 , x2 ,......, xn ); x1 , x2 ,......, xn
designa a los números reales x1 , x2 ,......, xn como lascoordenadas del punto P. Ahora vamos a definir como sumar puntos. Si P y Q son puntos por ejemplo:
P
( x1 , x2 ,......, xn ); Q ( x1 y1 , x2
y1 , y 2 ,......, y n ) se define entonces: yn ) cP R (cx1 , cx 2 ,......, cx n )
P Q
y 2 ,......, xn
Si c es cualquier número, se define
VECTORES EN EL ESPACIO ( R3 o V3 ) : Dos puntos: P0
( x0 , y 0 , z 0 )
y P 1
( x1 , y1 , z1 )determinan un segmento de recta que podría ser recorrido en dos sentidos uno de P 0 a P1 y otro de P1 a P0 llamados vectores
a y a.
a
P0 P 1 P0
P1 Definido como
a
P0 P 1
P 1
P0
a
P0 P 1
(P 1
P0 )
P0
P 1
a P0
P0 P 1
P1
a1
Donde:
a P0 P 1 (P 1 P0 ) (a1 , a2 , a3 )
x1 y1 z1
x0 y0 z0
tal que:
a2 a3
Los números a1 , a 2 , a3 se llaman,componentes del vector a es el punto inicial del vector a; P1
P0 P donde: P0 1
( x0 , y 0 , z 0 )
( x1 , y1 , z1 ) es el punto final del vector a .
P recibe el nombre de
Cuando el punto inicial es el origen de coordenadas, un vector OP radio vector.
-1-
Nolan Jara J.
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IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores a
PQ (a1 , a2 , a3 ) y b
RS
(b1 , b2 , b3 )
Soniguales, si y solo si sus respectivas componentes son iguales, es decir:
a b a1 b1 , a 2 b2 , a3 b3 (a1 , a 2 , a3 ); b (b1 , b 2 , b3 )
OPERACIONES CON VECTORES.- dados los vectores a Entonces: 1º) a 2º) a 3º) r a
b b (a1 b1 , a 2 (a1 b1 , a 2 b 2 , a3 b 2 , a3 b3 ) b3 ) a ( b)
(ra1 , ra 2 , ra 3 ) producto de un vector por un escalar r
VECTORES PARALELOS: Dos vectores son paralelos si ysolo si uno de ellos es el múltiplo escalar del otro. Es decir:
a b a r b ;o b t a; r , t R
MODULO DE UN VECTOR: Si a
P0 P entonces: 1
d ( P0 , P ) 1
( x1
x0 ) 2
( y1
y0 ) 2
( z1
z0 ) 2
a12
2 a2
2 a3
a
El modulo del vector a
( a1 , a 2 , a 3 ) se denota y define como:
2 a3
a
2 a1
2 a2
PROPIEDADES: Sean a
( a1 , a 2 , a3 ); b (b1 , b2 ,b3 ), r
; entonces:
i)
a
0; a
0
a
(0,0,0)
-2-
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ii)
r a
r
a
iii)
a
b
a
b
desigualdad triangular
VECTOR UNITARIO: Un vector de moduelo o longitud igual a 1 se llama vector unitario. Dado un vector a . El vector unitario u
a a
tiene el mismo sentido que el vector a
El vector unitario u
a a
tiene sentidoopuesto que el vector a
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: (o PRODUCTO INTERNO): El producto escalar de a
( a1 , a 2 , a3 ) y b (b1 , b2 , b3 ) se denota y define como:
a .b
a1 .b1
a 2 .b2
a3 .b3
3
PROPIEDADES: Sean a , b , c vectores en 1º) a . b
yr
entonces:
b.a
2º) (r a ). b 3º) a .( b c ) 4º) a . a
r (b . a ) a.b a. c
0
a
0
2
5º) a . a
a
-3- Nolan Jara J.
2 2 2
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6º) a b 7º)
a
a
2 a.b
a ( b .c ) ( a .b ) c
Ortogonalidad de vectores: Dos vectores a Son ortogonales por definición si: a
( a1 , a 2 , a3 ) y b
(b1 , b2 , b3 )
b
a
b
o también.
a
b
a .b
0
2 2 2
a
b
a b
a
b
Proyección Ortogonal y Componente: se llama proyección ortogonal de a sobre b , alVector:
Pr oy
b
a
a.b
2
b
; b
0
b
a
Pr oy a
b
a.b b
b2
b
-4-
Nolan Jara J.
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Se llama componente de a sobre b al número real:
Comp a
b
a .b b
; b
0
Obs. Como Pr oy a
b
a .b
2
b =
a .b b
b b
b
1º Pr oy a
b
comp a
b
b b
2º Pr oy a
b
comp a
b
ANGULOS ENTRE VECTORES. Dado los vectores a y b...
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