Vectores

Unidad 13. Producto escalar, vectorial y mixto. Aplicaciones en el espacio.

2. Producto vectorial de dos vectores
2.1. Definición

r r Definición: El producto vectorial de dos vectores libres vy w es otro vector que r r designaremos como v × w y que se define a partir de las siguientes propiedades: r r r r r r - módulo | v × w |=| v |·| w |·sen( ∠ ( v , w )) r r - dirección laperpendicular simultáneamente a v y w r r - sentido el de avance a derechas de un sacacorchos girando de v a w (*)
(*) Sentido del producto vectorial

Propiedades del producto vectorial: El producto vectoriales anticonmutativo. El módulo y la dirección no cambian, pero el sentido es el opuesto (ver regla sacacorchos). r r r r ( v × w) = − ( w × v ) El producto vectorial es distributivo con la suma: r r rr r r r u × (v + w) = u × v + u × w El producto vectorial es nulo siempre que se cumple una de las dos siguientes condiciones: a) uno de los dos vectores o los dos son nulos r r b) son vectoresparalelos ∠ ( v , w )=0º ya que sen(0)=0

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José Luis Lorente Aragón

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Unidad 13. Producto escalar, vectorial y mixto. Aplicaciones en el espacio.

2.2. Interpretación geométrica delproducto vectorial r r r Sean dos vectores v y w con origen común. Si trasladamos el vector w sobre el r r r extremo de v y el de v sobre el extremo de w se forma un paralelogramo (ver figura)

r v
rr ∠(v , w)

r r r h=| v |·sen( ∠(v , w) ) r w

r r r r El área del paralelogramo es | w |·h siendo h=| v |·sen( ∠(v , w) ). Así el área del paralelogramo es igual al módulo del producto vectorialde los dos vectores que lo forman r r r r r r Aparalelogramos=| w |·| v |·sen( ∠(v , w) )=| v × w |

2.3.Expresión analítica del producto vectorial Para calcular la expresión analítica del productovectorial veamos el producto vectorial de los vectores unitarios:
r r r i× j =k r r r j×k = i r r r k ×i = j r r r j × i = −k r r r k × j = −i r r r i ×k = −j

r k r k r i

r j

r i

r j...