VECTORES Y GEOMETR A Con Soluciones

1º BACH CNS

GEOMETRIA

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
1. Calcule x para que el vector u = (1/3,x) sea unitario.

 

2. Halle a ·b sabiendo que a = (1,-2) y b = 4 y que el ángulo que forman es de 60º.

Sol: x=2 2 /3

Sol: 2 5

3. ¿Cómo es el ángulo que forman los vectores (2,1) y (6,10)? ¿Agudo u obtuso?.

Sol: Agudo

4. Dados los puntos A (2,1); B (6,3); C (7,1) y D (3,-1). Demuestre que el polígono ABCD esrectángulo y
calcule su perímetro y su área.

Sol: P=6 5 ; A=10.

5. ¿Cuál es la proyección del vector (3,2) sobre el vector (5,-1)?.
 


6. Dados los vectores u =(2,1) y v =(0,2). Calcule el módulo del vector u  v .
7. Encuentre un vector ortogonal al vector (3,4) y que sea unitario.

Sol:

26 /2

Sol:

13

Sol: (-4/5,3/5)

8. Calcule x para que los vectores (3,-x) y (-4,2) sean ortogonales.
 
 
 



9. Si v =(3,-1) y u =(-2,2). Calcule: a) v  u ; b) v  2u ; c) v  u ; d) cos ( v, u ).

Sol: x=-6

Sol: a) (1,1); b) 10 ; c) -8; d) -2/

5

10. Los puntos A (-1,-2); B (1,1) y C (4,0) son los vértices de un paralelogramo, calcule las coordenadas del
otro vértice.

Sol: (2,-3)

11. Diga cuales de los siguientes vectores son unitarios: a) (0,-1); b) ( 2 /2,- 2 /2); c) (1/2,1/2).
Sol: a)Sí; b) Sí; c) No

12. Complete los siguientes vectores de modo que sean unitarios: a) (3/5,..); b) (..,1/2).
Sol: a) (3/5,4/5); b) ( 3 /2,1/2)

13. Halle un vector unitario de la misma dirección que (5,-12).

Sol: (5/13,-12/13), (-5/13,12/13)

14. Escriba un vector unitario de la misma dirección y sentido que (4,2).

Sol: (2/ 5 ,1/ 5 )

15. Halle un vector unitario de misma dirección y distintosentido que (4,-3).

Sol: (-4/5,3/5)

16. Escriba vectores ortogonales al vector (-3,1) tales que: a) Su primera componente sea 2; b) Que su segunda
componente sea 4; c) Que sea unitario.
Sol: a) (2,6); b) (4/3,4); c) (1/ 10 ,3/ 10 )


17. Dados los vectores u  (3,-4) y v  (6, k) . Calcule k para que: a) sean paralelos; b) sean perpendiculares.
Sol: a) k=-8; b) k=9/2



18. Halle las componentesdel vector u que sea perpendicular a v = (-3,6) y que: a) Su primera componente

sea 2; b) Su módulo sea 1.

Sol: a) (2,1); b) (2/ 5 ,1/ 5 )

19. Calcule el vértice D de un paralelogramo ABCD, sabiendo que A=(0,2); B=(1,3) y C=(4,2). Sol: D(3,1)
20. Calcule la resultante de las fuerzas F1=(1,2) y F2=(3,-6). Represéntala gráficamente.
Sol: (4,-4)



21. Escriba el vector u =(5,-1) comocombinación lineal de a =(2,1) y b =(-1,3).
Sol: (2,-1)




22. a) ¿Son los vectores a =(-3,2) y b =(1,1) linealmente dependientes?. b) ¿Y a =(-3,6) y b =(2,-4)?.






23. Calcule el vector u definido por u = 2 a - 3 b , en el que a = (2,1) y b = (1,-2).

Sol: a) No; b) Sí
Sol: (1,8)

24. Qué coordenadas debe tener un punto P para que PQ  2PR  0 , siendo Q(1,2) y R(-2,3)?. Sol: (-5,4)



25. ¿Los vectores u = (0,1) y v = (1,-2), ) forman un plano?. Expresa los vectores a = (3,2) y b = (-2,1) como
 
combinación lineal de u y v .
Sol: (8,3), (-3,-2)
IES. Francisco Ayala

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Manuel Froufe

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GEOMETRIA

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 



26. Cuáles son las componentes del vector u , que cumple la igualdad: a - 2 b - u =0, siendo a = (-2,1) y

Sol: (-8,3).
b = (3,-1)?.
 


27. Calcule elproducto escalar de u y v sabiendo que | u |=4, | v |=3 y que forman un ángulo de 60º. Sol: 6

28. Halle la proyección del vector (4,2) sobre el vector (1,2).
Sol: 8/


29. Dado un vector a =(-3,4), busca otro vector de módulo uno (unitario) y de la misma dirección que a .

5

Sol: (-3/5,4/5).


30. Determine un vector paralelo a a =(-4,3) y de módulo 10.

Sol: (-8,6).

31. ¿Qué ángulo formanlas fuerzas F1(3,9) y F2(-3,1)?.
Sol: 90º


32. Calcule x para que el vector a =(-1,2) sea ortogonal a b =(3,x).
Sol: x=3/2
 
33. Se sabe que el producto escalar de dos vectores a y b , no nulos, es cero. ¿Qué se puede afirmar de la
 
dirección de los vectores a y b ?.
Sol: que son perpendiculares.

34. Busque un vector ortogonal a a = (1,-2) y de módulo 20 .
Sol: (4,2) ó (-4,-2).
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