Varios Temas

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unidad 1
contenidos
2. Números racionales. Potencias 3. Relaciones entre los números racionales y decimales 4. Números irracionales 5. Números reales. Representación 6. Conjuntos en la recta real 7. Aproximaciones decimales 8. Redondeos y truncamientos 9. Errores 10. Notación científica y orden de magnitud 11. Radicales 12. Operaciones con radicales 13. Racionalización de denominadores 1.Números naturales y enteros

Números reales

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Las Matemáticas que desarrollaron los griegos nos muestran que ya conocían los números naturales y fraccionarios. Fueron los primeros en descubrir los números irracionales, es decir, números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado. Unode estos números irracionales es la razón que existe entre la diagonal y el lado de un pentágono regular. Este número dio nombre al rectángulo áureo, llamado así porque la razón entre sus lados es el número de oro. Para los antiguos griegos este rectángulo representaba la armonía, por eso, lo utilizaron en sus obras escultóricas y arquitectónicas. La fachada del Partenón es un rectángulo áureoperfecto a la vez que otros muchos elementos del edificio. Este conocimiento de los números por parte de los griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor (1845-1918), R. Dedekind (1831-1916), K. Weierstrass (1815-1897) y B. Bolzano (1781-1848) fueron los que culminaron la obra, que duró medio siglo de investigaciones, sobre los números reales. Los conceptosde intervalo y entorno asociados a los números reales, así como una operación muy peculiar que crearon —denominada paso al límite—, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos infinitesimales que conforman la parte de las Matemáticas conocida como cálculo diferencial e integral.

cuestiones iniciales
1. Encuentra varios números que estén comprendidos entre los que se indican: a)2 3 y ; 5 5 b) 2,1 y 2,2; c) 2,01 y 2,1.

2. Utilizando solamente las teclas de las operaciones elementales de tu calculadora, describe un procedimiento que te permita calcular 3. Ordena de menor a mayor los siguientes números: 5,31; –4,21; 5,201; –4,201; 5,2101; –4,2101; 4,211; 4,201. 4. Elevando ambos miembros al cuadrado comprueba la igualdad: 2 2– 3= 6–
n 3

10.

2

5. ¿Para quévalores de n y a se cumple

aX ?

Y

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Unidad 1 Y

1. Números naturales y enteros
Leopold Kronecker (1823-1891)

Los números naturales surgen, de forma espontánea, ante la necesidad que tiene el hombre de contar todo cuanto le rodea. • El conjunto de los números naturales se representa por mentos son: = {0, 1, 2, 3, 4, ...} y sus ele-

Existen numerosas situaciones en las que losnúmeros naturales son insuficientes para resolverlas, como: • la cronología antes y después de Jesucristo. • las temperaturas sobre y bajo cero. • las soluciones de ecuaciones como: x + 3 = 1 debido a esto surgen los números enteros. • El conjunto de los números enteros se representa por y está formado por los números naturales (enteros positivos y cero) y por los números enteros negativos. =
–

Fueun gran matemático alemán que estudió la Teoría de Números. Pronunció la siguiente frase: «El buen Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre».

{0}

+

= {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

Los números enteros se representan sobre una recta horizontal en la cual fijamos el origen, que designamos 0, y a partir de este colocamos sucesivamente un segmento, que tomamos comounidad, a la derecha del cero dando lugar a los enteros positivos y a la izquierda del cero dando lugar a los enteros negativos:

...

–3

–2

–1

0

1

2

3

...

Utilizamos la representación gráfica para comparar números enteros. • Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en la representación gráfica a está situado a la izquierda de b. Se escribe:
Valor...