Transformada de laplace

Transformada de Laplace - Conceptos Básicos

← Definición:
Sea f (t) una función de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se define como:
L { f (t) } = F(s) = ∫ e-st f(t)dt

← Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:
L { f1(t) ( f2(t) } =F1(s) ( F2(s)

2. Multiplicación por una constante
Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)

3. Diferenciación
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)

Engeneral, para las derivadas de orden superior de f(t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

4. Teorema del Valor Inicial
Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:
Lím f(t) = Lím s F(s)

si el límite existe.

← Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:

| |f(t) |L {f(t)} = F(s)|
|1 |K |k/s |
|2 |T |1/s2 |
|3 |tn |n!/sn+1 |
|4 |eat |1/ s-a |
|5 |sen at |a/ s2 + a2 |
|6 |cosat |s/ s2 + a2 |
|7 |senh at |a/ s2 - a2 |
|8 |cosh at |s/ s2 - a2 |

← Ejercicio Resuelto:
Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del uso de tabla:
f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8

AplicoTransformada de Laplace:
L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 } (1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada término, (1) se puede expresar como:

L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t3 } + L { 8 } (2)

Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondienteTransformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:

L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4 ) + 1/2*( s/s2 + 25 ) + 3/4*( 3! / s4 ) + 8/s

por lo tanto:

F(s) = 3/s+4 + s / 2*( s2 + 25) + 9/2 t - 4 + 8/s

Transformada Inversa de Laplace - Conceptos Básicos

← Definición:
Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s)se denota:

L-1 { F(s)} = f(t)

← Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; en este apunte se explicará el Método de las Fracciones Parciales.
Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse comouna suma de fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.

← Ejercicio resuelto : Hallar L-1 { (3s + 7) / (s2 - 2s - 3)}

Como se ve, es de la forma L-1 { P(s)/ Q(s)}, donde P(s) = 3s + 7 y Q(s) = s2 - 2s - 3; se puede observar también que el grado de Q(s) >P(s).
El polinomio Q(s) se puede expresar como s2 - 2s - 3 = (s+1)(s-3). Entonces:

3s + 7 3s + 7 A B (1)
s2 - 2s - 3 (s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1

Multiplicando por (s - 3)(s + 1) se obtiene:

3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A - 3B (2)

Igualando los...