Teorias
Páginas: 6 (1279 palabras)
Publicado: 1 de agosto de 2012
LA TEORIA DE CONJUNTOS
La presencia de los conjuntos, de una u otra forma a todo lo largo y ancho de la matemática, hace necesaria una teoría formal sobre su comportamiento y sus propiedades.
RELACIONES DE PERTENENCIA, INCLUSION E IGUALDAD
El conjunto de los números reales, es decir, el de todos los números, positivos y negativos, enteros y fraccionarios, incluso aquellos que no son nilo uno ni lo otro como la raíz cuadrada de dos ( ) pero que de todos modos son la medida de “algo” ( , por ejemplo es la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1), es sin duda el conjunto mas representativo de toda la matemática. Por esta razón se representa de manera muy conveniente para mostrar las distintas relaciones y leyes de la teoría de conjuntos.
La pertenencia
Un elemento bcualquiera se dice que pertenece al conjunto A si b es uno de los elementos de A. Esta relación entre b y A se escribe mediante el símbolo de la pertenencia : ∈.
Si R es el conjunto de todos los números reales entonces se tendría que 2 ∈ R. Esta expresión se lee “2 pertenece al conjunto R” o “2 es un elemento del conjunto R.
Como no todo lo que existe es un numero real ( un zapato, porejemplo, no es un numero real), se necesita un símbolo para expresar el hecho de que un elemento c no pertenece a R o a un conjunto A cualquiera. Este símbolo es ∉ y la expresión c ∉A se lee “c no pertenece A”.
La inclusión o contenencia
El conjunto de los números naturales, es decir, el conjunto de los números que se utilizan para contar (1,2,3,…) es solo una parte del conjunto de todos losnúmeros reales. Se dice, por ello, que el conjunto de los números naturales, N, es un subconjunto del conjunto de los números reales o que el conjunto N esta contenido en el conjunto R.
En general, dados dos conjuntos A y B, se dice que el conjunto A es un subconjunto B, si cualquier elemento de Aes también un elemento de B. Esta relación se expresa mediante el símbolo de la inclusión así: .
Si unconjunto A esta contenido en un conjunto B, entonces se puede afirmar también que el conjunto B contiene al conjunto A. Esto se puede simbolizar como BA.Es decir, es equivalente a . BA
La igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. En términos de subconjuntos, dos conjuntos A y B son iguales si se cumple la doble contenencia, es decir, si yB contenido en A. Si los conjuntos A y B son iguales se escribe A = B y A ≠ B en el caso contrario.
Los conjuntos A= { 3,8,5} y B {5,3,8} son iguales puesto que constan de exactamente los mismos elementos, así estos no aparezcan en el mismo orden.
Subconjunto propio
Si los conjuntos A y B son tales que pero A≠B, se dice que A es un subconjunto propio de B.
Cuando esto sucede se utiliza elsímbolo ⊂ y se escribe . Como el conjunto de los números naturales N es un subconjunto de los números enteros Z, y este a su vez es un subconjunto del conjunto de los números reales R, entonces se tiene que N ⊂ Z ⊂ R.
ALGUNOS CONJUNTOS ESPECIALES
El conjunto universal
El conjunto universal o conjunto referencial, es el conjunto que contiene todos los elementos de todos los conjuntoscon los que se esté trabajando en un momento dado. Este conjunto se simboliza con la letra U.
Conjunto vacío
El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se simboliza con ∅. Por ejemplo, el conjunto de los números impares divisible por 2 es un conjunto vació.
Propiedades del conjunto vacío y del conjunto universal
Los conjuntos vacío y universal satisfacen lassiguientes relaciones:
∅U∅= ∅
UU∅=U
∅∩∅=∅
U ∩ U = U
U U U = U
Operaciones entre conjuntos
Dados dos o mas conjuntos es posible formar otros conjuntos tomando de una u otra manera los elementos de estos. Una operación entre dos conjuntos es un procedimiento bien definido para formar un tercer conjunto a partir de los elementos de esos dos. Las operaciones entre conjuntos mas importantes son...
La presencia de los conjuntos, de una u otra forma a todo lo largo y ancho de la matemática, hace necesaria una teoría formal sobre su comportamiento y sus propiedades.
RELACIONES DE PERTENENCIA, INCLUSION E IGUALDAD
El conjunto de los números reales, es decir, el de todos los números, positivos y negativos, enteros y fraccionarios, incluso aquellos que no son nilo uno ni lo otro como la raíz cuadrada de dos ( ) pero que de todos modos son la medida de “algo” ( , por ejemplo es la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1), es sin duda el conjunto mas representativo de toda la matemática. Por esta razón se representa de manera muy conveniente para mostrar las distintas relaciones y leyes de la teoría de conjuntos.
La pertenencia
Un elemento bcualquiera se dice que pertenece al conjunto A si b es uno de los elementos de A. Esta relación entre b y A se escribe mediante el símbolo de la pertenencia : ∈.
Si R es el conjunto de todos los números reales entonces se tendría que 2 ∈ R. Esta expresión se lee “2 pertenece al conjunto R” o “2 es un elemento del conjunto R.
Como no todo lo que existe es un numero real ( un zapato, porejemplo, no es un numero real), se necesita un símbolo para expresar el hecho de que un elemento c no pertenece a R o a un conjunto A cualquiera. Este símbolo es ∉ y la expresión c ∉A se lee “c no pertenece A”.
La inclusión o contenencia
El conjunto de los números naturales, es decir, el conjunto de los números que se utilizan para contar (1,2,3,…) es solo una parte del conjunto de todos losnúmeros reales. Se dice, por ello, que el conjunto de los números naturales, N, es un subconjunto del conjunto de los números reales o que el conjunto N esta contenido en el conjunto R.
En general, dados dos conjuntos A y B, se dice que el conjunto A es un subconjunto B, si cualquier elemento de Aes también un elemento de B. Esta relación se expresa mediante el símbolo de la inclusión así: .
Si unconjunto A esta contenido en un conjunto B, entonces se puede afirmar también que el conjunto B contiene al conjunto A. Esto se puede simbolizar como BA.Es decir, es equivalente a . BA
La igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. En términos de subconjuntos, dos conjuntos A y B son iguales si se cumple la doble contenencia, es decir, si yB contenido en A. Si los conjuntos A y B son iguales se escribe A = B y A ≠ B en el caso contrario.
Los conjuntos A= { 3,8,5} y B {5,3,8} son iguales puesto que constan de exactamente los mismos elementos, así estos no aparezcan en el mismo orden.
Subconjunto propio
Si los conjuntos A y B son tales que pero A≠B, se dice que A es un subconjunto propio de B.
Cuando esto sucede se utiliza elsímbolo ⊂ y se escribe . Como el conjunto de los números naturales N es un subconjunto de los números enteros Z, y este a su vez es un subconjunto del conjunto de los números reales R, entonces se tiene que N ⊂ Z ⊂ R.
ALGUNOS CONJUNTOS ESPECIALES
El conjunto universal
El conjunto universal o conjunto referencial, es el conjunto que contiene todos los elementos de todos los conjuntoscon los que se esté trabajando en un momento dado. Este conjunto se simboliza con la letra U.
Conjunto vacío
El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se simboliza con ∅. Por ejemplo, el conjunto de los números impares divisible por 2 es un conjunto vació.
Propiedades del conjunto vacío y del conjunto universal
Los conjuntos vacío y universal satisfacen lassiguientes relaciones:
∅U∅= ∅
UU∅=U
∅∩∅=∅
U ∩ U = U
U U U = U
Operaciones entre conjuntos
Dados dos o mas conjuntos es posible formar otros conjuntos tomando de una u otra manera los elementos de estos. Una operación entre dos conjuntos es un procedimiento bien definido para formar un tercer conjunto a partir de los elementos de esos dos. Las operaciones entre conjuntos mas importantes son...
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