Teoremas de boole

TEOREMAS DE BOOLE
Definición
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
y 3-Tiene las siguientes propiedades:
    a) Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
    b) Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
    c) Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
    d) Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
    e) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz 
    f) Distributiva respectoa la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
    g) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
    h) Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
    i) Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
    j) Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
Propiedades del álgebra de Boole
Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
Idempotente respecto ala segunda función: xx = x
Maximalidad del 1: x + 1 = 1
Minimalidad del 0: x0 = 0
Involución: x'' = x
Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'
Función booleana
Una función booleana es una aplicación deA x A x A x ....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.
Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.
Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.
El número posible de casos es 2n. 
Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:
Votos         Resultado
ABCD
1111              1
1110              11101              1
1100              0
1011              1
1010              0
1001              0
1000              0
0111              1
0110              0
0101              0
0100              0
0011              0
0010              0
0001              0
0000              0 
Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1.
En nuestro ejemplo lafunción booleana será:
f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD

Diagramas de Karnaugh
Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas.
Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que el número de 1 sea potencia de 2. 

Teoremas
Existen muchos teoremas en el álgebra de Boole, pero todosellos se pueden deducir a partir de otros con ayuda de las operaciones y propiedades básicas. Pero dada su utilidad es muy importante recordar el siguiente, el Teorema de De Morgan:
2.2. TABLAS DE VERDAD
Representación
Son unas representaciones gráficas de todos los casos que se pueden dar en una relación algebraica y de sus respectivos resultados.





















INDICE3.1. Introducción
3.2. Funciones básicas booleanas
3.3. Postulados del Álgebra de Boole
3.4. Teoremas del Álgebra de Boole
3.5. El Álgebra de Boole en lenguaje de contactos


3.1. INTRODUCCIÓN
George Boole creó el álgebra que lleva su nombre en el primer cuarto del siglo XIX. Pretendía explicar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente humana por las que se...