Teorema del binomio

NÚMEROS REALES

Tema 1

1

BINOMIO DE NEWTON

2

NÚMEROS COMBINATORIOS
•

Dados dos números naturales, m y n, donde m ≥ n , se denomina número
combinatorio y se lee “m sobre n” a

m
m!


 n  n !.(m  n)!
•

Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1

•

PROPIEDADES
 m  m.(m  1).(m  2)....(m  n  1)
 
n!
n 
17 
17!
17.16.15.14.13! 17.16.15.14

 
4  4!.(17  4)!
4!.13!
4!


3

NÚMEROS COMBINATORIOS
 m  m
     1
0   m

 m
m!
m!
11


  1

 m  m!.(m  m)! m !.0! 0! 1

 m
m!
m!
11

  1

 0  0!.(m  0)! 0!.m! 0! 1

 m  m 
 

n  m  n

 m
m 
m!
m!

;



 n  n !.(m  n)!  m  n  (m  n)!.n !
7
7
7 7
7!
7!

;  ;       35

 4  4!.(7  4)!  3  3!(7  3)!  4   3 

4

NÚMEROS COMBINATORIOS
 m   m   m  1
 


 n   n  1  n  1 
 m  m 
m!
m!





n   n  1 n !.(m  n)! (n  1)!.(m  n  1)!


(n  1).m!
(m  n).m!


(n  1).n !.(m  n)! (n  1)!.(m  n)(m  n  1)!
(n  1).m! (m  n).m!
m!.(m  1)


(n  1)!.(m  n)!
(n 1)!.(m  n)!




 m  1
(m  1)!


(n  1)!.(m  n)!  n  1 

 5   5   6  5!
5!
6! 5.4.3! 5.4! 6.5.4!
     ;


;


;10  5  15

 3   4   4 3!.2! 4!.1! 4!.2! 3!.2 4!.1 4!.2
5

BINOMIO DE NEWTON
Observar las potencias:
Fijarse en los coeficientes :
•
0
• (a+b) = 1
1
•
1
• (a+b) = a + b
1
1
•
2
2
2
• (a+b) = a + 2.a.b + b1
21
•
3
3
2
2
3
• (a+b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b
1
3
3
1
•
4
4
3
22
3
4
• (a+b) = a + 4.a . b + 6.a . b + 4.a. b + b
1
4
6
4
1
•

............ = .....................•
•
•

Ya vistos por ser todos productos notables.

Forman un triángulo
llamado
Triángulo de Tartaglia
6

PROPIEDADES
• Sea el siguiente desarrollo:
• (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1...