tension

Tema 3

Apéndice

Tensiones principales en el caso plano y Círculo de Mohr
Partiendo del sistema de ecuaciones que relaciona las componentes de la tensión en el
sistema de referencia {x’, y’} en función de las componentes de la tensión en el sistema
{x, y} (ver página 22 de las transparencias):

σ x ' = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + 2τ xy sin θ cos θ

σ y ' = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ −2τ xy sin θ cos θ

(1)

τ x ' y ' = (σ y − σ x ) sin θ cos θ + τ xy (cos θ − sin θ )
2

2

Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas:
1 + cos 2θ
2
1
−
cos
2θ
sin 2θ =
2
cos 2 θ =

sin 2θ = 2 sin θ cos θ
(2)
cos 2θ = cos θ − sin θ
2

2

y sustituyéndolas en (1), obtenemos:

σ x' =

σx +σ y

σ y' =
τ x' y' =

2

σx +σ y
2

+

−

σ y −σ x
2σ x −σ y
2

σ x −σ y
2

cos 2θ + τ xy sin 2θ
cos 2θ − τ xy sin 2θ

(3)

sin 2θ + τ xy cos 2θ

Observaciones:

1. La suma de tensiones normales es un invariante del estado de tensiones, es
decir:

σ x + σ y = σ x' + σ y'
2. Direcciones principales
Existen dos direcciones mutuamente perpendiculares en las que las tensiones de
cortadura son nulas y por lo tanto, sólo existentensiones normales: σ1 y σ2 (σ1 > σ2). A
esas tensiones se les llama tensiones principales y a las direcciones, direcciones
principales. De la ecuación (3), obtendremos el ángulo θ que forma la dirección
principal 1 con el x:

-1-

Tema 3

τ x' y' =

Apéndice

σ y −σ x
2

sin 2θ + τ xy cos 2θ = 0

⇒

tan 2θ =

2τ xy

(4)

σ x −σ y

y utilizando las siguientes relacionestrigonométricas:

sin 2θ = ±
cos 2θ = ±

tan 2θ

(1 + tan

2

2θ

1

(1 + tan

2

2θ

)

=±

)

=±

1/ 2

1/ 2

[(σ
[(σ

τ xy

− σ y ) / 4 + τ xy2
2

x

(σ

x

− σ y )/ 2

− σ y ) / 4 + τ xy2
2

x

(5)

]

1/ 2

]

1/ 2

y sustituyéndolas en el sistema de ecuaciones (3), obtendremos los valores de las
tensiones principales:

σ1 =

σx +σ y

σ2 =

2

σ x +σ y
2

1/ 2

 σ x − σ y
+ 
2


2


 + τ xy2 



 σ x − σ y
− 
2


2


 + τ xy2 



1/ 2

(6)

3. Tensión de cortadura máxima

En algunas ocasiones, por ejemplo, en el estudio de las deformaciones plásticas
permanentes, es interesante conocer el valor y el plano sobre el que la tensión de
cortadura esmáxima. Para ello, derivaremos la expresión de τx’y’ de la ecuación (3):
dτ x ' y '
dθ

= 0;

(σ y − σ x ) cos 2θ − 2τ xy sin 2θ = 0

⇒

Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas:

sin 2θ = ±

cos 2θ = ±

tan 2θ

(1 + tan

2

2θ

)

2θ

)

1

(1 + tan

2

1/ 2

1/ 2

=±

=±

[(σ
[(σ

(σ

x

− σ y )/ 2

− σ y ) / 4 + τ xy2
2

x

τxy

− σ y ) / 4 + τ xy2
2

x

-2-

]

1/ 2

]

1/ 2

tan 2θ = −

σ x −σ y
2τ xy

(7)

Tema 3

Apéndice

podemos calcular el valor de la tensión máxima de cortadura, como:

τ max

 σ x − σ y
= ± 
2


2


 + τ xy2 



1/ 2

(8)

Observar que, comparando las ecuaciones (4) y (7):

(tan 2θ )τ

max

=−

1
(tan 2θ )σ1

(9)Esa relación se cumple cuando los ángulos difieren 90º, por lo que dado que en la
ecuación (9) aparece el ángulo doble, la dirección principal 1 y la dirección normal al
plano en el que la tensión de cortadura es máxima forman un ángulo de 45º.
Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (6) obtenemos que:

σ1 =
σ2 =

σ x +σ y
2

σ x +σ y
2

+ τ max
− τ max

(10)

y por lo tanto,sumando estas dos ecuaciones obtenemos que la tensión de cortadura
máxima vendrá dada por la mitad de la diferencia entre las tensiones principales:

τ max =

σ1 − σ 2
2

(11)

4. Círculo de Mohr
Desde el punto de vista teórico, las ecuaciones (1) son suficientes para conocer las
tensiones en cualquier sistema de referencia en el caso de tensión plana. Pero dado que
estas...