Superficies De Revolucion

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Obsérvese que en el cono , si a = b entonces los cortes con planos paralelos al eje z son circunferencias, lo mismo sucede si en el paraboloide, se hace a = b o si enlos hiperboloides ; y ; se hacen a = b. En estos casos estas superficies se acostumbran a llamar conos de revolución, paraboloide de revolución e hiperboloides de revolución.
Pero estos no son losúnicos casos, pues en general hay una clase especial de superficies que se obtienen al rotar alguna curva plana C alrededor de un eje L. A estas superficies se les llama superficies de revolución.Intuitivamente se ve que si se rota la circunferencia x2 + y2 = a2 alrededor de alguno de los ejes coordenados x o y, se obtiene la superficie esférica x2 + y2 + z2 = a2 . Pero si se rota la curvacon ecuación y = x3 alrededor del eje x, no es tan elemental encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se genera. El Ejemplo que sigue muestra un procedimiento para encontrarla.EJEMPLO
Como se puede apreciar en la Figura 1.2.11 al rotar la curva y = x3 alrededor del eje x, cada punto P(x, y0 , 0) de la curva genera una circunferencia con centro en el punto
O(x, 0, 0). Sea Q(x, y, z) otro punto de esa circunferencia, entonces la distancia de P a O es igual a la distancia de Q a O, es decir
luego , pero , entonces la ecuación de la superficie de revolución es:
.Figura 1.2.11
En forma mas general si la curva y = f(x), del plano xy, se rota alrededor del eje x, cada punto P(x, y0 , 0) de la curva genera una circunferencia con centro en el punto O(x, 0, 0). SeaQ(x , y, z) otro punto de esa circunferencia, entonces la distancia de P a O es igual a la distancia de Q a O, es decir
luego , pero , entonces la ecuación de la superficie de revolución es:
.Con procedimiento análogo se puede demostrar que:
1. si la curva z = f(x), del plano xz, se rota alrededor del eje x, se obtiene la superficie de revolución con ecuación .
2. si la curva x =...