sistema de numeros reales

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Definición Axiomática de los Números Reales
El sistema de los números reales está formado por el conjuntoR cuyos elementos son los numeros reales, dos operaciones: Adicion, denotada por + y multiplicación, denotada por ∙ ; y una relación deorden denotada por < que se lee “menor que”, tal que se verifican los siguientes axiomas:
Axiomas para la Adicion:
A.1. Si a,b∈R, entonces(a+b)∈R. Propiedad de clausura
a+b=b+a; ∀a,b∈R. Conmutatividad.
(a+b)+c=a+(b+c); ∀a,b,c∈R. Asociatividad.
∃!0∈R/a+0=a; ∀a∈R.Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
∀a∈R,∃!(-a)∈R/ a+(-a)=0. Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo.
Axiomas para laMultiplicacion:
Si a,b∈R, entonces (a∙b)∈R. Propiedad de clausura.
a∙b=b∙a; ∀a,b∈R. Conmutatividad.
(a∙b)∙c=a∙(b∙c); ∀a,b,c∈R.Asociatividad.
∃!1∈R/a∙1=a; ∀a∈R. Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo.
∀a≠0∈R,∃!(a^(-1) )∈R/ a∙a^(-1)=1. Existencia yunicidad del elemento inverso multiplicativo.
Observe que 0 no tiene inverso multiplicativo ya que no existe algún número que multiplicado por 0dé como resultado 1.
Axiomas Distributivos respecto de la Adición.
D.1. a∙(b+c)=a∙b+a∙c; ∀a,b,c∈R
D.2. (b+c)∙a=b∙a+c∙a; ∀a,b,c∈RAxiomas de la relación de orden
O.1. Si a,b∈R, solo una de las siguientes alternativas se cumple: ab. Ley de tricotomia.
O.2. Si a