Sisstema Tanque Conico

Modelos Físicos II
Ingeniería de Sistemas I

Índice
TEMA – Modelos Físicos II 1. – Sistemas hidráulicos 1.1 – Sistema tanque en régimen laminar
1.1.1 – Tanques independientes 1.1.2 – Tanques interdependientes

2. – Linealización de sistemas 2.1 – Sistemas lineales 2.2 – Tipos de alinealidades 2.3 – Linealización de modelos no lineales
2.3.1 – Aproximación de funciones utilizando series deTaylor p 2.3.2 – Aproximación de modelos no lineales de sistemas SISO 2.3.3 – Linealización de tanques en régimen turbulento

Sistemas Hidráulicos
Elementos Básicos
q1 p1 R q2 p2 q1 p1
1 2

q2 p2

A l Inercia

h

V A Capacitancia

Resistencia de orificio

dp R= dq

p1 − p 2 =

ρl dq
A dt

C=

dV dh

Ejemplo: Tanque en régimen laminar
qin

Régimen laminar

(q
Rin

− qout ) dt = dV
→

→ qin − qout

dh =A dt

qout =

h Rf

h = R f q out qin − qout

h

dq out dh = Rf dt dt dqout dq out = AR f → qin = AR f + qout dt dt

qout
A

G (s ) =

Qout (s ) 1 = Qin (s ) 1 + AR f s

Sistemas de Nivel de Líquidos – Ejemplo
Ejemplo: Tanques independientes
Tanque 1 Tanque 2

qin

(q

in

− q1 ) dt = A1 dh1

(q

1

− qout ) dt =A2 dh2 h2 R2

h q1 = 1 R1

qout =

R1 h1

q1 qout
A1 h2

dh1 dq dq = R1 ⋅ 1 → qin − q1 = A1 R1 1 dt dt dt dq dq dh2 = R2 ⋅ out → q1 − q out = A2 R2 out dt dt dt

→ qin = A1 R1

dq1 + q1 dt dq out → q1 = A2 R2 + qout dt 1 Qin (s ) 1 + A1 R1 s 1 Q1 (s ) 1 + A2 R2 s

Qin (s ) = [A1 R1 s + 1]Q1 (s ) → Q1 (s ) =

R2

Q1 (s ) = [A2 R2 s + 1]Qout (s ) → Qout (s ) =

out qout G (s) = Q (s ) = (1 + A R s ) (1 + A R s ) in 1 1 2 2

Q

(s )

1

A2
Qin (s )

qin (t )

1 A1 s

h1

1 R1

q1

1 A2 s
qout (t ) 1 A2 R2 s + 1 Qout (s )

h2

1 R2

Qout (s )

qout (t )

Qin (s )

qin (t )

1 A1 R1 s + 1

q1

Sistemas de Nivel de Líquidos – Ejemplo
Ejemplo: Tanques interdependientes
Tanque 1 Tanque 2

(q

in

− q1 ) dt = A1 dh1

(q1

− qout ) dt = A2 dh2 h2 R2

qin qout
h2 R1 h1

h −h q1 = 1 2 R1
h1 = R1 q1 + h2 → h2 = R2 qout

qout =
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

R2

dh1 dq dh = R1 1 + 2 dt dt dt dh dq → 2 = R2 out dt dt

dh1 dq q dq q = R1 1 + R2 out dt dt dt

q1
A1 A2

qout

dq dq1 + A1 R2 out + q1 dt dt dq q1 = A2 R2 out + q out dt qin = A1 R1

Qin (s ) = [A1 R1 s + 1]Q1 (s ) + A1 R2 sQout (s ) ⎫ ⎬ Qin (s ) ={[ A1 R1 s + 1][A2 R2 s + 1]+ A1 R2 s}Qout (s ) Q1 (s ) = [A2 R2 s + 1]Qout (s ) ⎭ qin (t )

G (s ) =

Qout (s ) 1 = Qin (s ) [A1 R1 s + 1][A2 R2 s + 1]+ A1 R2 s
q out (t )

Qin (s )

1 A1 s

h1

1 R1

q1

1 A2 s

h2

1 R2

Qout (s )

A1 R2 s qin (t ) 1 A1 R1 s + 1 1 A2 R2 s + 1 q out (t )

Qin (s )

Qout (s )

Linealización de Sistemas – Sistemas Lineales
SistemasLineales
y(x) Δy

Propiedades de los sistemas lineales Proporcionalidad
f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) f (αx ) = α f (x )

Δy = α Δx
Δx x

Superposición

Principio de Superposición
X1(t) t Y1(t)

Sist. lineal

t

El principio de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación de dos o más funciones excitadoras distintas, es la suma de las dos o másrespuestas individuales.
X1(t)

+
t

X2(t) t

Y1(t)

+
t

Y2(t) t

X2(t) t

Y2(t)

Sist. lineal

Sist. lineal

t

Linealización de Sistemas – Alinealidades
Alinealidades
La mayoría de los sistemas físicos no son lineales. Su resolución es EXTREMADAMENTE COMPLEJA. No admiten el principio de superposición
d 2 x ⎛ dx ⎞ + ⎜ ⎟ + ex = 0 dt 2 ⎝ dt ⎠ d 2 x dx + + x = A ⋅ senx dt 2 dtsalida
2

salida

salida

entrada

entrada

entrada

Saturación
La salida de un componente puede alcanzar un valores máximos para niveles elevados de la señal de entrada

Zona Muerta
Rango de entradas para las que el dispositivo no es sensible

Alinealidad cuadrática
Sistemas que bajo ciertas condiciones presentan un comportamiento lineal y que al variarse éstas pueden...