sismica

Ley de atenuación de las ondas
Principio de Fermat y ley de Snell para ondas sísmicas
La ecuación ψ(r)=const (5) describe una familia de superficies, llamadas frentes de onda.
Ahora, sidefinimos al vector p como p=v
ψ=
ψ|
ψ|(6), vemos que se trata de un vector unitario.
Los rayos en el frente de ondas son curvas orientadas cuyas direcciones coinciden en todo momento con lascorrespondientes direcciones del vector
ψ. Denotemos la longitud de arco de un rayo por s. Si r(s) denota el vector de posición en un punto P en un rayo, entonces p=drds y entonces tenemos, por la ec. (6):drds=v
ψ(7).
Consideremos dos frentes de onda, ψ(r)=const, y ψ(r)+∂ψ=const. Entonces, dψds=p⋅∇ψ=1v(8).
De aquí sigue que la distancia ∂s entre puntos en dos rayos cortando dos frentes de onda esdirectamente proporcional a la velocidad v. Puesto que ∂s=v∂t, donde t denota tiempo, la ecuación (8) nos dice que ψ−ψ0=∫ss0dsv=t−t0(9).
Así ψ denota, en realidad, el tiempo de viaje a través de unrayo.
Principio de Fermat
Sean P y Q dos puntos cualesquiera en un rayo. Por la ecuación (9), tenemos que
tPQ=∫QPSds=∫QP1vds=ψQ−ψP(10),donde S es llamada la lentitud (slowness) y está definida porS=1v
El principio de Fermat establece que el patrón de rayo de una onda entre los puntos P y Q es también un patrón de tiempo estacionario entre estos dos puntos.
Esto quiere decir que el tiempode viaje a lo largo del rayo tendría que ser un mínimo, un máximo o el correspondiente a un punto de inflexión.
Para probarlo, primero notamos que la variación del tiempo de viaje está dado por:∂tPQ=∫QP[∂Sds+S∂(ds)](11).
Además, ∂S=∂r⋅∇S,(ds)2=dr⋅dr,ds∂(ds)=dr⋅∂(dr),∂(ds)=p⋅d(∂r).(12)
Tomemos en cuenta la segunda integral. Con las ecuaciones (12) tenemos: QPS∂(ds)=∫QPSp⋅d(∂r)(13).
Integrando ellado derecho por partes y tomando en cuenta que ∂r=0 en P y Q, ya que éstos son puntos fijos: ∫QPSp⋅d(∂r)=|Sp⋅∂r|QP−∫QPd(Sp)ds⋅∂rds=∫QPd(Sp)ds⋅∂rd(14).
Con (14) y (11) y las ecuaciones (12),...