Sicko

Outline
Definici´. Formes bin`mica i exponencial
o
o
Operacions. Angles. Complexos als eixos
Exemples
Descomposici´
o

´
Index
1

Definici´. Formes bin`mica i exponencial
o
o

2

Operacions. Angles. Complexos als eixos
Operacions
Angles
Complexos als eixos

3

Exemples
Pas de bin`mica a exponencial
o
Pas d’exponencial a bin`mica
o
Arrels

4

Descomposici´
o
`Teorema fonamental de l’Algebra
Fraccions simples

EPSEVG & MA IV; M. Claverol

`
FOMA: Complexos. Teorema fonamental de l’Algebra

1/27

Outline
Definici´. Formes bin`mica i exponencial
o
o
Operacions. Angles. Complexos als eixos
Exemples
Descomposici´
o

Complexos C
Forma bin`mica
o
z =a + bi on a, b ∈ R i i =

√
−1 ´s la unitat imagin`ria.
e
a

Cada z ∈ C, es potrepresentar com a un punt en el pla complex:
eix imaginari

z = a+ bi

b

Re(z)=a ´s la part real,
e
Im(z)=b ´s la part imagin`ria.
e
a

|z|
q
a

eix real

Bin`mica−→Exponencial:
o
√
M`dul: |z| = a2 + b2
o
b
Argument θ principal: tan θ = a , −π < θ ≤ π
a = |z| cos θ, b = |z| sin θ
Exponencial−→Bin`mica
o
Forma exponencial
z =|z|eθi on |z| =

√

a2 + b 2 ,

b
tan θ= a .

EPSEVG & MA IV; M. Claverol

`
FOMA: Complexos. Teorema fonamental de l’Algebra

2/27

Outline
Definici´. Formes bin`mica i exponencial
o
o
Operacions. Angles. Complexos als eixos
Exemples
Descomposici´
o

Operacions
Angles
Complexos als eixos

Complexos. Operacions
Bin`mica z = a + bi
o

Exponencial z = |z|eθi

z 1 = a1 + b 1 i z 2 = a2 + b 2 i

z1 = |z1 |eθ1i z2 = |z2 |eθ2 i

z1 + z2

a1 + a2 + (b1 + b2 )i

–

z1 · z2

a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + b1 a2 )i

|z1 ||z2 |e(θ1 +θ2 ) i

z1
z2

z1 z2
z2 z2

on z2 = a2 − b2 i

|z1 | (θ1 −θ2 )
i
|z2 | e

z2 z2 = a2 + b2 = |z2 |2
2
2
zn

(a + bi)n

√
n
z

–
EPSEVG & MA IV; M. Claverol

|z|n enθi
θ+2kπ

{ n |z|e n i
k = 0, 1, · · · , n − 1}

`
FOMA: Complexos. Teoremafonamental de l’Algebra

3/27

Outline
Definici´. Formes bin`mica i exponencial
o
o
Operacions. Angles. Complexos als eixos
Exemples
Descomposici´
o

Operacions
Angles
Complexos als eixos

Reducci´ al primer quadrant
o

a

p-a

a

a-p

2p-a
a

α∈ 2on. quadrant

α∈ 3er. quadrant

α∈ 4art. quadrant

cos(α) = – cos(π − α)

cos(α) = – cos(α − π)

cos(α) =cos(2π − α)

sin(α) = sin(π − α)

sin(α) = – sin(α − π)

sin(α) = – sin(2π − α)

EPSEVG & MA IV; M. Claverol

`
FOMA: Complexos. Teorema fonamental de l’Algebra

4/27

Outline
Definici´. Formes bin`mica i exponencial
o
o
Operacions. Angles. Complexos als eixos
Exemples
Descomposici´
o

Operacions
Angles
Complexos als eixos

Reducci´ al primer quadrant
o

p-p/6
p/6

p+p/3

p/3

p/6
2p- p/6

α∈ 2on. quadrant

α∈ 3er. quadrant

cos(π − π ) = – cos( π ) cos(π + π ) = – cos( π )
6
6
3
3
sin(π − π ) = sin( π )
6
6

sin(π + π ) = – sin( π )
3
3

EPSEVG & MA IV; M. Claverol

α∈ 4art. quadrant
cos(2π − π ) = cos( π )
6
6
sin(2π − π ) = – sin( π )
6
6

`
FOMA: Complexos. Teorema fonamental de l’Algebra

5/27

Outline
Definici´.Formes bin`mica i exponencial
o
o
Operacions. Angles. Complexos als eixos
Exemples
Descomposici´
o

Operacions
Angles
Complexos als eixos

Raons trigonom`triques
e
p/2
p/3
p/4

Raons trigonom`triques dels angles
e
principals al 1er quadrant:
0

π
6

sin

0

1
2

cos

1

tan

0

π
4

π
3

√
3
2

1

1
2

0

2
2

√

√

1
√
3

1

32

0

π
2

√

p/6

2
2

√

3

∞

EPSEVG & MA IV; M. Claverol

`
FOMA: Complexos. Teorema fonamental de l’Algebra

6/27

Outline
Definici´. Formes bin`mica i exponencial
o
o
Operacions. Angles. Complexos als eixos
Exemples
Descomposici´
o

Operacions
Angles
Complexos als eixos

Exemples. Complexos als eixos

Alguns exemples senzills:
p/2

z
z
z
z...