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Publicado: 16 de junio de 2013
II.- TEORIA DE CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTAR
II.1 ELEMENTOS BASICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS.
II.1.1 Definición.- Conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos que pueden ser personas, números, ríos, letras, etc. a los que se les llama miembros o elementos. Ejemplos:
Los números 1, 3, 7 y 10
Las soluciones de la ecuación x² –3x + 2 = 0
Las vocales delalfabeto: a, e, i, o, u
Los estudiantes Tomás, Ricardo y Enrique
Los números 2, 4, 6, 8, . . . .
Las ciudades capitales de Europa
El conjunto de los números primos menores que 15
II.1.2 Expresión de conjunto.- Para expresar un conjunto es necesario definir:
a) Notación.- Las letras mayúsculas se emplean para denotar un conjunto, las letras minúsculas para los elementosdel conjunto, la “coma” para separar cada elemento, el símbolo para encerrar los elementos y la pertenencia de un elemento a un conjunto se indica con
b) Forma constructiva (comprensión o descriptiva).- Es cuando se enuncian las propiedades que deben tener los elementos del conjunto. Generalmente se emplea la x en este tipo de expresión. Ejemplos:
A = todos los números pares = x x es un número par
B = los habitantes de la tierra = x x es un habitante de la tierra
C = Los números dígitos = x x es un número dígito
D = Todos los números primos menores que 15 = x x es un número primo, x < 15
La expresión x x se lee “ x tal que x
c) Forma tabular (extensión o enumerativa).- Es cuando se escribe cada elemento del conjunto.Ejemplos:
A = 2, 4, 6, 8, . . .
C = 0, 1, 2, 3, . . . . , 8, 9
d) Diagramas de Venn-Euler.- Es la representación gráfica de los conjuntos y sus relaciones mediante áreas planas (normalmente círculos y rectángulos). Ejemplo:
En la figura se dibujan el conjunto Universo y los conjuntos A y B.
II.2 CLASES DE CONJUNTOS.
Los conjuntos se clasifican de la siguientemanera:
II.2.1 Conjunto universal.- Es el conjunto de todos los elementos posibles para sustituir la x en un conjunto. Conjunto fijo del cual se consideran subconjuntos todos los conjuntos de una investigación. Se denota por U. Ejemplos:
En geometría plana, el conjunto universal será:
U = x x es cualquier punto del plano
En estudios sobre población:
U = x x es un serhumano
II.2.2 Conjunto vacío.- Denotado por o por es el conjunto que carece de elementos. Se le llama también conjunto nulo. Ejemplos:
Si A es el conjunto de personas vivas mayores de 200 años, entonces
A = =
Si B es la solución de x2 = 4 y es impar, entonces
B = x x² = 4, x es impar =
II.2.3 Subconjunto.- A es subconjunto de B denotado por A B cuando todo elemento de A es elemento de B ( a A; a B ). Si un subconjunto tiene por lo menos un elemento menos que el otro conjunto entonces se le llama subconjunto propio. Algunos libros denotan “ A subconjunto de B “ con A B y “A subconjunto propio de B “ con A B. Ejemplos:
El conjunto A = 1, 3, 5 , B = 5, 4, 3, 2, 1 y C = 5, 1, 3 , como todo número 1, 3, 5, de Apertenece a B, entonces:
A B “ A subconjunto propio de B” ; y A C “ A subconjunto de C”
Sean F = x x es potencia entera positiva de 2 y G = x x es par , entonces
F G
II.2.4 Conjuntos iguales.- El conjunto A es igual al conjunto B denotado por A = B, si todo elemento de A es elemento de B y si todo elemento de B es elemento de A ( a A; a B y b B; b A );esto es A B y B A. Ejemplos:
Sean A = 1, 2, 3, 4 y B = 3, 1, 4, 2 , entonces
A = B; es decir 1, 2, 3, 4 = 3, 1, 4, 2
Sean E = x x² - 3x = - 2 ; F = 2, 1 y G = 1, 2, 2, 1 , entonces
E = F = G
II.2.5 Conjuntos comparables.- Dos conjuntos A y B se dicen comparables si A B o B A; son no comparables si A B y B A ( A no es...
II.1 ELEMENTOS BASICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS.
II.1.1 Definición.- Conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos que pueden ser personas, números, ríos, letras, etc. a los que se les llama miembros o elementos. Ejemplos:
Los números 1, 3, 7 y 10
Las soluciones de la ecuación x² –3x + 2 = 0
Las vocales delalfabeto: a, e, i, o, u
Los estudiantes Tomás, Ricardo y Enrique
Los números 2, 4, 6, 8, . . . .
Las ciudades capitales de Europa
El conjunto de los números primos menores que 15
II.1.2 Expresión de conjunto.- Para expresar un conjunto es necesario definir:
a) Notación.- Las letras mayúsculas se emplean para denotar un conjunto, las letras minúsculas para los elementosdel conjunto, la “coma” para separar cada elemento, el símbolo para encerrar los elementos y la pertenencia de un elemento a un conjunto se indica con
b) Forma constructiva (comprensión o descriptiva).- Es cuando se enuncian las propiedades que deben tener los elementos del conjunto. Generalmente se emplea la x en este tipo de expresión. Ejemplos:
A = todos los números pares = x x es un número par
B = los habitantes de la tierra = x x es un habitante de la tierra
C = Los números dígitos = x x es un número dígito
D = Todos los números primos menores que 15 = x x es un número primo, x < 15
La expresión x x se lee “ x tal que x
c) Forma tabular (extensión o enumerativa).- Es cuando se escribe cada elemento del conjunto.Ejemplos:
A = 2, 4, 6, 8, . . .
C = 0, 1, 2, 3, . . . . , 8, 9
d) Diagramas de Venn-Euler.- Es la representación gráfica de los conjuntos y sus relaciones mediante áreas planas (normalmente círculos y rectángulos). Ejemplo:
En la figura se dibujan el conjunto Universo y los conjuntos A y B.
II.2 CLASES DE CONJUNTOS.
Los conjuntos se clasifican de la siguientemanera:
II.2.1 Conjunto universal.- Es el conjunto de todos los elementos posibles para sustituir la x en un conjunto. Conjunto fijo del cual se consideran subconjuntos todos los conjuntos de una investigación. Se denota por U. Ejemplos:
En geometría plana, el conjunto universal será:
U = x x es cualquier punto del plano
En estudios sobre población:
U = x x es un serhumano
II.2.2 Conjunto vacío.- Denotado por o por es el conjunto que carece de elementos. Se le llama también conjunto nulo. Ejemplos:
Si A es el conjunto de personas vivas mayores de 200 años, entonces
A = =
Si B es la solución de x2 = 4 y es impar, entonces
B = x x² = 4, x es impar =
II.2.3 Subconjunto.- A es subconjunto de B denotado por A B cuando todo elemento de A es elemento de B ( a A; a B ). Si un subconjunto tiene por lo menos un elemento menos que el otro conjunto entonces se le llama subconjunto propio. Algunos libros denotan “ A subconjunto de B “ con A B y “A subconjunto propio de B “ con A B. Ejemplos:
El conjunto A = 1, 3, 5 , B = 5, 4, 3, 2, 1 y C = 5, 1, 3 , como todo número 1, 3, 5, de Apertenece a B, entonces:
A B “ A subconjunto propio de B” ; y A C “ A subconjunto de C”
Sean F = x x es potencia entera positiva de 2 y G = x x es par , entonces
F G
II.2.4 Conjuntos iguales.- El conjunto A es igual al conjunto B denotado por A = B, si todo elemento de A es elemento de B y si todo elemento de B es elemento de A ( a A; a B y b B; b A );esto es A B y B A. Ejemplos:
Sean A = 1, 2, 3, 4 y B = 3, 1, 4, 2 , entonces
A = B; es decir 1, 2, 3, 4 = 3, 1, 4, 2
Sean E = x x² - 3x = - 2 ; F = 2, 1 y G = 1, 2, 2, 1 , entonces
E = F = G
II.2.5 Conjuntos comparables.- Dos conjuntos A y B se dicen comparables si A B o B A; son no comparables si A B y B A ( A no es...
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