Renaje

[editar] Propiedades asociativas
Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:
* Para cualesquiera
y EJ 1+(6+2)=(1+6)+2
* Para cualesquiera
[editar] Propiedades conmutativas
Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera , tenemosque
* Para cualesquiera
Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:
* Para cualesquiera
y tambien sirve
[editar] Propiedad distributiva
Sean los enteros , y . Tenemos
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Por tanto se cumple lasiguiente propiedad distributiva
* Para cualesquiera
[editar] Existencia de elementos neutros
El cero, , , tiene la característica de que para todo entero ,

y como sean cuales sean los números naturales tenemos , de donde , por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre . En
* para todo .términos más sencillos,
Se define como sigue:
.
Vemos que, para todo entero ,y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre . Es decir,
* para todo pt.
a+b _ c
[editar] Existencia de elemento opuesto
* Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , que cumple obviamente la propiedad anterior:

[editar] Unicidaddel elemento opuesto
Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:

En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.
[editar] Propiedades cancelativas
Sean y .Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:

Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa
* Para todo .
Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto , con su multiplicación, no es un anillo dedivisión. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y con . Tenemos que , y de la propiedad distributiva , o sea que , lo que demuestra que .
Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente:
* Para todo , con .
[editar] Propiedades de orden
* Si a = b Entonces b = a
[editar] Propiedad reflexivadel orden
* a = a
[editar] Propiedad antisimétrica del orden
* Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.
[editar] Demostración
supongamos que a ≤ b y b ≤ a entonces existen p y q que pertenecen a los enteros tales que b = a + p y a = b + q , luego sumando las dos igualdades anteriores se obtiene que a - b + a - b = p + q, de donde se concluye que p + q = 0 por lo que es evidente que p = 0 y q= 0, asi tenemos que a=b.
Propiedad o axioma de la buena ordenación
* Sea S un subconjunto no vacío de ℤ, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.
Este axioma indica que el conjunto S tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto de cotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez esmayor que todos los elementos del conjunto S.

La regla del octeto, enunciada en 1917 por Gilbert Newton Lewis, dice que la tendencia de los iones de los elementos del sistema periódico es completar sus últimos niveles de energía con una cantidad de 8 electrones de tal forma que adquiere una configuración muy estable. Esta configuración es semejante a la de un gas noble,[1] los elementos ubicados...