Profesor De Calculo

EJERCICIOS PROPUESTOS - LIMITES AL INFINITO
1)
lim┬(x→∞) [ ⁡〖x^3/(x^2+2)〗-x^2/(x+2)]= lim┬(x→∞) ((x+2)(x^3 )-(x^2+2)(x^2))/((x^2+2)(x+2))
=lim┬(x→∞) (x^4+2x^3-x^4-2x^2)/((x^2+2)(x+2))
lim┬(x→∞) (2x^3-2x^2)/((x^2+2)(x+2))=lim┬(x→∞) ((2x^3)/x^3 -〖2x〗^2/x^3 )/(x^2/x^2 +2/x^2 )(x/x+2/x) =lim┬(x→∞) (2-0)/1=2
2)
lim┬(x→∞)⁡〖[(3x^2)/(2x+1)-(2x-1)(3x^2+x+2)/(4x^2 )]=lim┬(x→∞)(3x^2)/(2x+1)-((6x^3+x^2+3x-2))/(4x^2 )〗
lim┬(x→∞) (4x^2 (3x^2 )-(2x+1)(6x^3-x^2+3x-2))/(2x+1)(4x^2 )
lim┬(x→∞) (12x^4-〖12x〗^4+2x^3-6x^2+4x-6x^3-x^2-3x+2)/((2x+1)(4x^2))
=lim┬(x→∞) (-4x^3-7x^2+x+2)/((2x+1)(4x^2))
lim┬(x→∞) ((-4x^3)/x^3 -(7x^2)/x^3 +x/x^3 +2/x^3 )/(2x/x+1/x)((4x^2)/x^2 ) =(-4)/8=(-1)/2
3)
lim┬(x→∞)⁡[x^3/(2x^2-1)-x^2/(2x+1)]=lim┬(x→∞) ((2x+1)(x^3)-(2x^2-1)(x^2))/((2x^2-1)(2x+1))
lim┬(x→∞) (2x^4+x^3-(2x^4-x^2))/((2x^2-1)(2x+1))=lim┬(x→∞) (x^3+x^2)/((2x^2-1)(2x+1))
=lim┬(x→∞) (x^3/x^3 +x^2/x^3 )/((2x^2)/x^2 -1/x^2 )(2x/x+1/x) =lim┬(x→∞) (1+0)/((2)(2))=1/4

4)
lim┬(x→∞) [(3x^2-2)/(2x+1)÷(x^2-4x)/(x-3)]=lim┬(x→∞) ((3x^2-2)(x-3))/((2x+1)(x^2-4x))
= lim┬(x→∞) (3x^3-9x^2-2x+6)/((2x+1)(x^2-4x))=lim┬(x→∞) ((3x^3)/x^3 -(9x^2)/x^3 -2x/x^3 +6/x^3)/(2x/x+1/x)(x^2/x^2 -4x/x^2 ) =3/2
5)
lim┬(x→∞) [√(x^2+x)-√(x^2+9)]=lim┬(x→∞) √(x^2+x)-√(x^2+9) ((√(x^2+x)+√(x^2+9))/(√(x^2+x)+√(x^2+9)))
lim┬(x→∞) (x^2+x-x^2-9)/(√(x^2+x)+√(x^2+9))=lim┬(x→∞) (x-9)/(√(x^2+x)+√(x^2+9))
=lim┬(x→∞) (x/x-9/x)/(√(x^2/x^2 +x/x^2 )+√(x^2/x^2 +x9/x^2 ))=1/2
6)
lim┬(x→-∞)⁡[(√(〖2x〗^2 )+1)/(x+3)]=lim┬(x→-∞) (|x| √2+1)/(x+3)=lim┬(x→-∞) ((-x√2)/x+1/x)/(x/x+3/x)= -√2
7)lim┬(x→∞) (√((x+a)(x+b) )-x)
= lim┬(x→∞) √((x+a)(x+b) )-x((√((x+a)(x+b) )+x)/(√((x+a)(x+b) )+x))
lim┬(x→∞) ((x+a)(x+b)-x^2)/(√((x+a)(x+b) )+x)=lim┬(x→∞) (x^2+bx+ax+ab-x^2)/(√((x+a)(x+b) )+x)
lim┬(x→∞) (bx/x+ax/x+ab/x)/(√((b/x+x/x)(a/x+x/x) )+x/x^2 )=(a+b)/2

8)
Hallar las constantes k y b, tal que cumpla lim┬(x→∞)⁡[kx+b-((x^3+1))/(x^2+1)]= 0lim┬(x→∞)⁡[(kx(x^2+1)+b(x^2+1)-x^3-1)/(x^2+1)]
= lim┬(x→∞) [(kx^3+kx+bx^2+b-x^3-1)/(x^2+1)]
lim┬(x→∞) [((kx^3)/x^3 +kx/x^3 +(bx^2)/x^3 -x^3/x^3 -1/x^3 )/(x^2/x^3 +1/x^3 )]=lim┬(x→∞) [(k+k/x^2 +b/x-1-1/x^3 )/(1/x+1/x^3 )]=lim┬(x→∞) k-1
k-1=0
k=1
b=0
9)
Determinar M+N, tal que lim┬(x→∞) [Mx+N-x^3/(x^2+1)]=0
lim┬(x→∞) [(Mx(x^2+1)+N(x^2+1)-x^3)/(x^2+1)]=lim┬(x→∞) [(Mx^3+Mx+Nx^2+N-x^3)/(x^2+1)]
lim┬(x→∞) [((Mx^3)/x^3 +Mx/x^3+(Nx^2)/x^3 +N/x^3 -x^3/x^3 )/(x^2/x^3 +1/x^3 )]=lim┬(x→∞) [(M+M/x^2 +N/x+N/x^3 -1)/(1/x+1/x^3 )]=lim┬(x→∞) M-1
M-1=0
M=1
N=0
10)
lim┬(x→∞)⁡(√(x^2-2x-1)-√(x^2-7x+3))
lim┬(x→∞) √(x^2-2x-1)-√(x^2-7x+3) ((√(x^2-2x-1)+√(x^2-7x+3))/(√(x^2-2x-1)+√(x^2-7x+3)))
lim┬(x→∞) (x^2-2x-1-x^2+7x-3)/(√(x^2-2x-1)+√(x^2-7x+3))=lim┬(x→∞) (5x-4)/(√(x^2-2x-1)+√(x^2-7x+3))
lim┬(x→∞) (5x/x-4/x)/(√((x^2-2x-1)/x^2)+√((x^2-7x+3)/x^2 ))=lim┬(x→∞) (5-0)/(√(x^2/x^2 -2x/x^2 -1/x^2 )+√(x^2/x^2 -7x/x^2 +3/x^2 ))=5/2
11)
lim┬(x→-∞)⁡(√(x^2-2x-1)-√(x^2-7x+3))
lim┬(x→-∞) √(x^2-2x-1)-√(x^2-7x+3) ((√(x^2-2x-1)+√(x^2-7x+3))/(√(x^2-2x-1)+√(x^2-7x+3)))
lim┬(x→-∞) (x^2-2x-1-x^2+7x-3)/(√(x^2-2x-1)+√(x^2-7x+3))=lim┬(x→∞) (5x-4)/(√(x^2-2x-1)+√(x^2-7x+3))
lim┬(x→∞) (5x/x-4/x)/(√(x^2 (1-2/x-1/x^2 ) )/x+√(x^2 (1-7/x+3/x^2) )/x)
=lim┬(x→∞) 5/(((-x)√((1-2/x-1/x^2 ) ))/x+((-x)√((1-7/x+3/x^2 ) ))/x)=-5/2
12)
lim┬(x→∞) (√(x(x+a))-x)=lim┬(x→∞) √(x(x+a))-x((√(x(x+a))+x)/(√(x(x+a))+x))
lim┬(x→∞) (x(x+a)-x^2)/(√(x(x+a))+x)= lim┬(x→∞) (x^2+ax-x^2)/(√(x^2+ax)+x)=lim┬(x→∞) ax/(√(x^2+ax)+x)
lim┬(x→∞) (ax/x)/(√(x^2/x^2 +ax/x^2 )+x/x)=a/2



13)
lim┬(x→∞) (√(x+√2x) -√(x-√2x) )=lim┬(x→∞) √(x+√2x) -√(x-√2x)((√(x+√2x) +√(x-√2x) )/(√(x+√2x) +√(x-√2x) ))
lim┬(x→∞) (x+√2x-x+√2x)/(√(x+√2x) +√(x-√2x) )=lim┬(x→∞) (2√(2x/x))/(√(x/x+√(2x/x^2 )) +√(x/x-√(2x/x^2 )) )=(2√2)/2=√2
14)
lim┬(x→∞) [x(√(x^2+1)-x)]=lim┬(x→∞) x(√(x^2+1)-x)((√(x^2+1)+x)/(√(x^2+1)+x))
lim┬(x→∞) (x(x^2+1-x^2))/(√(x^2+1)+x)=lim┬(x→∞) (x/x)/(√(x^2/x^2 +1/x^2 )+x/x)=1/2
15)
lim┬(x→-∞) [x(√(x^2+1)-x)]=lim┬(x→-∞)...