Producto Escalar De Vectores

Producto Escalar de Vectores
El producto escalar y el producto vectorial son las dos formas de multiplicar vectores que vemos en la mayoría de las aplicaciones de Física y Astronomía. El producto escalar de dos vectores se puede construir, tomando la componentede un vector en la dirección del otro vector y multiplicandola por la magnitud del otro vector. Esto se puede expresar de la forma:

Sise expresan los vectores en términos de los vectores unitarios i, j, y k a lo largo de las direcciones x, y, y z, el producto escalar, tambien se puede expresar de la forma:

Aplicaciones del Producto Escalar
Geometricamente, el producto escalar es útil para encontrar la dirección entre vectores en el espacio. Puesto que las dos expresiones del producto:

comprenden a las componentes de los dosvectores y puesto que las magnitudes A y B se pueden calcular a partir de sus componentes, usando:
entonces, se puede calcular el coseno del ángulo y determinar el ángulo.
Una aplicación importante del producto escalar en Física, es el cálculo del trabajo:

El producto escalar se usa en expresiones de energía potencial magnética y en el potencial de un dipolo eléctrico.http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vsca.html
Módulo de un vector.
El producto escalar se puede usar para determinar el módulo de un vector u⃗ . Ya que:
u⃗ ⋅u⃗ =|u⃗ ||u⃗ |cos(uuˆ)=|u⃗ |2
de donde: u⃗ =u⃗ ⋅u⃗ −−−−√
De manera que obtenemos, usando las coordenadas del vector u⃗ =(u1,u2),
u⃗ =u21+u22−−−−−−√
Ejemplo
Para u⃗ =(3,4), tenemos que hacer:
|u⃗ |=u21+u22−−−−−−√=32+42−−−−−−√=25−−√=5
Ángulo entre dos vectores.
Dela definición del producto escalar u⃗ ⋅u⃗ =|u⃗ ||u⃗ |cos(uuˆ) podemos despejar el coseno del ángulo que forman los dos vectores:
cos(uvˆ)=u⃗ ⋅v⃗ |u⃗ ||v⃗ |
Aplicando la función arcoseno a cada lado de la igualdad obtenemos (ang = ángulo):
ang(u⃗ ,v⃗ )=arccos(u⃗ ⋅v⃗ |u⃗ ||v⃗ |)
De manera que si tenemos dos vectores mediante sus coordenadas u⃗ =(u1,u2) y v⃗ =(v1,v2) tenemos que:ang(u⃗ ,v⃗ )=ang(v⃗ ,u⃗ )=arccos(u1v1+u2v2u21+u22−−−−−−√⋅v21+v22−−−−−−√)
Ejemplo
Encontrar el ángulo formado por u⃗ =(2,3) y v⃗ =(−1,4). En este caso, aplicando la fórmula anterior obtenemos:
ang(u⃗ ,v⃗ )=arccos(2⋅(−1)+3⋅422+32−−−−−−√⋅(−1)2+42−−−−−−−−−√)=arccos(0.67267)=47∘43′35′′
EJERCICIOS
Determina el producto escalar de u⃗  y v⃗ : - u⃗ =(1,−2), v⃗ =(3,2) - |u⃗ |=3, |v⃗ |=4, ang(u⃗ ,v⃗ )=60∘ - Determina el ángulo que formanlos vectores: u⃗ =(−1,2) y v⃗ =(3,0).















Calcula un vector v⃗  que sea ortogonal (perpendicular) al vector u⃗ =(2,−4) y tenga módulo igual a 3













Dados los vectores u⃗ =(x,2) y v⃗ =(3,1). Determinar el valor de x ara que los vectores u⃗  y v⃗  sean: - Paralelos. - Perpendicularse. - Formen un ángulo de 45∘.http://www.sangakoo.com/es/temas/aplicaciones-del-producto-escalar
PRODUCTO VECTORIAL
Producto Vectorial
El producto vectorial y el producto escalar son las dos formas de multiplicar vectores que se realizan en la mayoría de las aplicaciones de Física y Astronomía. La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos.La magnitud del producto vectorial se representa de la forma:

y la dirección es dada por la regla de la mano derecha. Si los vectores se expresan por medio de sus vectores unitarios i, j, y k en las direcciones x, y, y z, entonces el producto vectorial, se expresa de esta forma bastante engorrosa:
que corresponde al desarrollo de la forma mas compacta de un determinante del producto vectorial.Determinante del Producto Vectorial
El producto vectorial se representa de forma compacta por medio de undeterminante que para el caso de dimensión 3x3 tiene un desarrollo matemáticoconveniente:

A partir de esta forma familiar, podemos desarrollarlo para obtener su forma expandida:

Aplicaciones del Producto Vectorial
Geométricamente, el producto vectorial es útil como método de...