probs edo ocw 3

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3 Transformada de Laplace.

PROBLEMAS DE EDO
2o Ing. Industrial
CURSO 2009–2010

a t e
a’ t i
c a s

3
3.1

Transformada de Laplace.
C´
alculo de transformadas y antitransformadas
Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones

Problema 3.1.1

i)
iii)

f (t) = t2 e−t cos t
sen t
f (t) =
t

ii)

f (t) = cos3 t,

iv)

f (t) = t

t

e−x sen xdx

0

Indicaci´
on: ii) cos3 t = Acos t + B cos 2t + C cos 3t.
Problema 3.1.2 Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones
i) f (t) = t − n , si n ≤ t < n + 1, n ∈ IN (es decir, f (t) = t − [t], donde [t] representa la
parte entera de t, y as´ı f (t) es la parte decimal).
ii) f (t) =
iii) f (t) =

0
0≤t≤1
, k ∈ IN .
(t − 1)k t > 1
0 0≤t≤1
, k ∈ IN .
tk t > 1

iv) f (t) = (−1)[t] .
Problema 3.1.3 Hallar latransformada inversa de Laplace de las funciones
i)

F (s) =

iv)

F (s) =

e−3s
s3 + 4s
s2

6
+ 4s + 13

ii)

F (s) =

v)

F (s) =

s2

s+3
+ 2s + 5

iii)

F (s) =

s2

1
− s4

vi)

F (s) =

2s + 1
s3 + 9s
(s2

1
+ k 2 )2

Indicaci´
on: vi) calcular (s/(s2 + k 2 ))′ .
Problema 3.1.4 Hallar la transformada de Laplace de g(t) = (f (t))+ siendo f (t) = sen kt.
Problema 3.1.5
∞
f (x)
F (s)ds.
dx =
x
0
0
ii)Utilizar esta identidad para calcular
∞

i) Probar la identidad

∞

1)
0

sen x
dx
x

∞

2)
0

e−αx − e−βx
dx
x
∞

Problema 3.1.6

an tn , con-

Sea f una funci´
on anal´ıtica con desarrollo de Taylor f (t) =
n=0

vergente para todo t ∈ IR. Calcular su transformada de Laplace. Como aplicaci´on calcular las
transformadas de Laplace de las funciones

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3 Transformada de Laplace.
i) f (t) = cost,
sen t
ii) f (t) =
(ver problema 3.1.1.iii)),
t
et − 1
,
iii) f (t) =
t
∞
(t/2)2n
,
iv) f (t) = J0 (t) =
(−1)n
(n!)2
n=0
v) f (t) = J0 (t1/2 ).
∞

Indicaci´
on: iv) (1 + z)−1/2 =
k=0

−1/2 k
z .
k

Problema 3.1.7 Calcular la transformada inversa de Laplace de las funciones
i) F (s) = log(1 + 1/s)

ii) F (s) = log(1 + 1/s2 )
∞

Problema 3.1.8

Hallar la transformada de Laplace de la funci´
on y(x)=
0

deducir el valor de y(x).

3.2

cos xt
dt y
1 + t2

Resoluci´
on de ecuaciones mediante transformada de Laplace

Problema 3.2.1 Resolver los siguientes problemas de valor inicial
i)

iii)

v)

y ′ − 5y = cos 3t
y(0) = 1/2

ii)

y ′′ − y = e2t
y(0) = 0, y ′ (0) = 1

y ′′ + 16y = cos 4t
y(0) = 0, y ′ (0) = 1

iv)

y ′′ + 2y ′ + y = e−3t
y(0) = 1, y ′ (0) = 0

y ′′ − 6y ′ + 9y = t2 e3t
y(0) =2, y ′ (0) = 6

vi)

y ′′ + 4y ′ + 6y = 1 + e−t
y(0) = 0, y ′ (0) = 0

Problema 3.2.2 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales


′
t

 x − 6x + 3y = 8e

y ′ − 2x − y = 4et


 x(0) = −1, y(0) = 0

Problema 3.2.3 Resolver los problemas (ver tambi´en problema 2.1.6.i))

i)



 y ′′ + y ′ =



t+1 0 3−t t>1
y(0) = −1, y ′ (0) = 0

Problema 3.2.4 Resolver el problema
f (t) = 0 en elresto.

ii)



 y ′′ + 4y =


′

cos 2t 0 < t < 2π
0
t > 2π
y(0) = y (0) = 0

x′′ − x = f (t)
donde f (t) = et si π/2 < t < π,
x(0) = x′ (0) = 0

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3 Transformada de Laplace.
Problema 3.2.5 Resolver los siguientes problemas
y ′′′′ − y = G3 (t − 1)
y(0) = y ′ (0) = y ′′ (0) = 0, y ′′′ (0) = 1

i)

donde Ga (t) =

y ′′ − y = G4 (t − 3)
y(0) = 1, y ′ (0) = −1

1 0 0 t<0´
ot>a

Problema3.2.6 Hallar la soluci´
on del problema
fn (t) =

ii)

0
nen−nt

y ′′ − y ′ = fn (t)
con una fuente dada por
y(0) = y ′ (0) = 0

0≤t<1
y estudiar qu´e sucede cuando n → ∞.
t≥1

Problema 3.2.7 Resolver los problemas 2.2.1 y 2.1.8 mediante transformada de Laplace.

Problema 3.2.8 Resolver el problema


′

 x = −y + f (t)

y ′ = x − 2y

con f (t) =


 x(0) = −e, y(0) = 0

Problema 3.2.9 Resolverel problema

0 0≤t≤1
t t≥1

y ′′ + 2cy ′ + y = δ(t − 1)
distinguiendo los casos
y(0) = y ′ (0) = 0

c > 1, c = 1 y 0 ≤ c < 1.
Problema 3.2.10
i) Calcular la transformada de Laplace de la distribuci´on δ ′ (t − a), a ≥ 0.
d2 u
+ ω 2 u = δ ′ (t − a) con condiciones
2
dt
iniciales u(0) = 0, u′ (0) = 0, estudiando la regularidad de la soluci´
on obtenida.

ii) Resolver la ecuaci´on diferencial de...

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