Probabilidad Momentos

Universidad An´huac M´xico Norte
a
e
Escuela de Actuar´
ıa
Probabilidad 2
Esperanzas y momentos.
Tarea.
Jos´ Daniel L´pez–Barrientos. Alicia Rosendo–Prado
e
o
1. Demuestre las propiedadesde la Esperanza matem´tica.
a
a) E(c)=c
∞

E(c) =

cfX (x)dx
−∞
∞

fX (x)dx

= c
−∞

= c

b) E(cg(X))=cE(g(X))
∞

E(cg(X)) =

cg(x)fX (x)dx
−∞
∞

= c

g(x)fX (x)dx
−∞= cE(g(X))

c) E(c1 g1 (X) + c2 g2 (X)) = c1 E(g1 (X)) + c2 E(g2 (X))

∞

E(c1 g1 (X) + c2 g2 (X)) =

(c1 g1 (x) + c2 g2 (x))fX (x)dx
−∞
∞

=

∞

(c1 g1 (x)dx +
−∞
∞

= c1

c2 g2(x))fX (x)dx
−∞

∞

(g1 (x)dx + c2
−∞

g2 (x))fX (x)dx
−∞

= c1 E(g1 (X)) + c2 E(g2 (X))

1

2. Si X := tan U, donde U es una variable aleatoria uniforme con
par´metros − π y π ,encuentre EX y var X.
a
2
2
E(X) = E(tan U)
π
2

=
−π
2

1
=
π

1
tan udu
π
π
2

tan udu
−π
2

var X = E(X2 ) − E(X)2
1
=
π

π
2

1
π

2

tan udu −
−π
2

π
22

tan udu
−π
2

3. Demuestre que si X una variable aleatoria discreta y g(·) es una
funci´n no–negativa cuyo dominio es R. Entonces
o
E[g(X)]
para todo k ≥ 0.
(1)
P[g(X) ≥ k] ≤
k
∞E[g(X)] =

g(xi )fX (x)dx
i=1
x:g(x) 0 y Γ (α) :=
EXk =

∞
0

λα α−1 −λx
x e ,
Γ (α)
xα−1 e−x dx, entonces

α(α + 1) · · · (α + k − 1)
.
λk

Figura 1: Funci´n de densidad Gamma condiversos valores de α.
o

3

E(Xk ) =

∞
−∞
∞

=
−∞

xk fX (x)dx
xk

λα α−1 −λx
x e dx
Γ (α)

∞
1
xk λα xα−1 e−λx dx
Γ (α) −∞
∞
1
=
λα+k xα+k−1 e−λx dx
Γ (α)λk −∞
∞
1=
λα+k−1 xα+k−1 λe−λx dx
Γ (α)λk −∞

=

Tomamos x = u entonces dxλ = du

=
=
=
=
=

∞
1
uα+k−1 e−u du
Γ (α)λk −∞
Γ (α + k)
Γ (α)λk
(k + α − 1)Γ (k + α − 1)
Γ (α)λk
(α)(α + 1) .. . (k + α − 1)Γ (α)
Γ (α)λk
(α)(α + 1) . . . (k + α − 1)
λk

8. Demuestre que si X es una variable aleatoria con distribuci´n exo
t−1
ponencial con par´metro 1, entonces EX
a
= Γ (t)....