Paradojas de senon

NÚMEROS EN NÚM3ROS 30
Capi Corrales (*)
1. INTRODUCCIÓN
En el capítulo 5 de la serie de televisión Numb3rs, la hija de un matemático es raptada por
unos secuestradores que creen que su padre ha demostrado la Hipótesis de Riemann (uno de
los llamados problemas del milenio, siete problemas matemáticos por cada uno de los cuales
el Clay Institute of Mathematics ofrece un millón de dólares aquien logre demostrarlo). Según
explica Charlie, hermano matemático del agente del FBI encargado de resolver el caso, los
secuestradores quieren utilizar la demostración del padre para romper los códigos de cifrado
que se utilizan en las transacciones bancarias e Internet, y acceder así a cuentas bancarias.
La seguridad de los cifradores en cuestión, explica, se basan en lo difícil que esfactorizar
números grandes en producto de números primos, y la Hipótesis de Riemann puede proporcionar
una manera rápida de llevar a cabo esa factorización. Concretamente, nos dice que
”la Hipótesis de Riemann es una herramienta para encontrar números primos grandes. Con su
trabajo se pueden encontrar números primos grandes usando la criba de Eratóstenes”.
Más adelante, el mismo Charlie es capaz dedetectar a golpe de vista un error en los cálculos
del matemático padre de la niña raptada y, tras hacerle admitir que se había equivocado y que
no tenía una demostración válida de la Hipótesis en cuestión, le convence para inventar juntos
un algoritmo falso con el que montan una trampa para capturar a los secuestradores.
Es cierto que la seguridad de los criptosistemas utilizados en Internety bancos, lo mismo que
muchos de los algoritmos más comunes para la construcción de cifradores se basa en la teoría
de los números primos (específicamente, en la dificultad de factorizar números grandes en
producto de primos). También es verdad que la Hipótesis de Riemann es un problema abierto
en matemáticas que está relacionado con la teoría de los números primos (concretamente con
laprobabilidad de un número dado de ser primo), y por cuya resolución el Instituto Clay ofrece
un millón de dólares. Sin embargo, la conexión entre ambos hechos está mucho menos clara
de lo que los guionistas de la película nos quieren hacer creer.
2. CÓDIGOS: EL ALGORITMO RSA
Empecemos por lo más fácil de explicar, la parte de los códigos de cifrado. La característica del
nuevo tipo de cifradores,llamados técnicamente algoritmos criptográficos de clave pública, al que
pertenece el algoritmo RSA mencionado en Numb3rs, es que podemos dar públicamente toda la
información necesaria para que quien quiera nos escriba mensajes codificados, sin por ello desvelar
la información de cómo leerlos. Antes de seguir adelante, reflexionemos brevemente sobre esto.
Con un tipo de algoritmo más antigüo,si yo le diese a alguien la información necesaria para que
me escribiese un mensaje, le estaría dando también la posibilidad de leer todos los mensajes que
yo reciba codificados con él, pues la información necesaria para codificar es suficiente para descodificar.
Esto no ocurre con los algoritmos de clave pública, y de ahí su enorme utilidad. Una compañia
como Amazon.com, por ejemplo, quevende libros a través de la red a compradores de todo
el planeta, quiere poder recibir mensajes codificados de mucha gente con sus números de tarjetas
de crédito, y, a la vez, asegurarse de que nadie fuera de la compañía pueda leer esos mensajes.
(*) Profesora del Dpto. de Álgebra de la Universidad Complutense de Madrid.
En el algoritmo RSA cualquier persona que conozca un cierto número r (setratará de un número
realmente grande, un entero con miles de dígitos) puede codificar un mensaje m sin más que
escribir m como un número que elevará a cierta potencia, obteniendo a continuación su resto
al dividir por r. Ese resto será su mensaje codificado. Sin embargo,quien quiera descodificar el
mensaje y hallar el m original, necesitará conocer los factores primos del número r y, si r es...