Operaciones Con Nùmeros Reales

LOS NUMEROS REALES
Conjunto no vacío designado como ℜ y denominado conjunto de los números reales. En él se define una relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y “ . ” Relación de igualdad Definición: R = ⎨(a,b) en que a ∧ b ∈ ℜ ∧ a R b ⎬

Propiedades de la relación “ = ” : A1 A2 Reflexividad : Simetría : ∀a∈ℜ ⇒ a = a ∀ a, b ∈ ℜ, si a = b ⇒ b = a ∀ a, b, c ∈ ℜ, si a = b∧ b = c ⇒ a = c

A3 Transitividad : Operaciones en ℜ Definición:

Adición o Suma (+) : (a,b) ∈ ℜ → a + b ∈ ℜ

Multiplicación o producto ( . ) : (a,b) ∈ ℜ → a . b ∈ ℜ Propiedades de las operaciones ( + ) y ( . ) : B1 Conmutatividad : B2 Asociatividad : B3 B4 Existe un elemento identidad para la suma : Existencia de elementos inversos para la suma : a+b = b+a a+(b+c) = (a+b)+a a+0 = 0+a=a a+ (-a) = (-a) + a = 0 a.b = b.a a.(b.c) = (a.b).c a.1 = 1.a = a a . a-1 = a-1 . a = 1 a.(b+c) = a.b+a.c

B5 Conmutatividad : B6 Asociatividad : B7 B8 B9 Existe un elemento identidad para la multiplicación: Existencia de inversos para la multiplicación, si a ≠ 0 : Ley distributiva:

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La compatibilidad entre estas dos operaciones y la relación de igualdad, se establece mediante lasleyes: Si a = b ⇒ a+c = b+c ; Si a = b ⇒ a . c = b . c

Teorema 1.

En ℜ, los elementos identidad para la suma y para la multiplicación (neutro aditivo y multiplicativo respec.) son únicos.

Demostración:

Se emplea el Método de Reducción al Absurdo.

Supongamos la

existencia de otro elemento neutro para la suma, designado como 0* ≠ 0. Entonces aplicando B2 se tiene: 0* + 0 = 0 y 0 + 0*= 0* se concluye Por conmutatividad (B1) y aplicando transitividad (A3),

que 0 = 0* ⇒⇐ la suposición de la Hipót., luego es falso que 0* ≠ 0 y entonces el neutro para la suma es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del neutro multiplicativo. En ℜ, los elementos inversos para la suma y para la multiplicación son únicos. Dado a ∈ ℜ, supongamos ∃ (-a) y a´ elementos inversosde a para la suma en que (-a) ≠ a´. Entonces se cumple: ⇒ ⇔

Teorema 2.

Demostración:

a + (-a) = 0

y

a + a´ = 0

a + (-a) = a + a´

[ a + (-a) ] + (-a) = [ a + a´ ] + (-a) (-a) = a´

⇒ 0 + (-a) = [ a + (-a) ] + a´ luego

⇒⇐ la Hipótesis ⇒ Es falso (-a) ≠ a´ y el inverso aditivo es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del inverso multiplicativo.

2Teorema 3:

i) El cero es el inverso aditivo de sí mismo: (-0) = 0 ii) El uno es inverso multiplicativo de sí mismo: 1-1 = 1

Demostración:

i)

a + (-a) = 0 y el inverso aditivo es único, luego si a = 0 entonces: 0 + (-0) = 0 por lo tanto: (-0) = 0

ii)

Demostrar de manera análoga.

COROLARIO:

i) Por unicidad del inverso aditivo, si a + b = 0 ⇒ a = -b y b = -a ii) Por unicidaddel inverso multiplicativo si a . b = 1 ⇒ a = b-1 y b = a-1 ∀ a ∈ ℜ; a . 0 = 0

Teorema 4:

Demostración:

Por axioma B3 se tiene que: 0 + 0 = 0, por lo tanto: 0 . a = (0 + 0).a 0 . a = 0.a + 0.a Distributividad.

(-0 . a) + 0 . a = (-0 . a) + 0 . a + 0 . a 0 = a . 0 + [ (-0 . a) + 0 . a ] 0 = a.0 = 0.a

En particular, por este teorema:

0 . 0 = 0

y

1 . 0 = 0

Teorema 5:

∀a , b ∈ ℜ, se cumplen las siguientes propiedades:

i) ii) iii)
Demostración:

- (-a) = a (-a) . b = - (ab) a . (-b) = - (ab)
TAREA

3

Teorema 6:

∀ a, b ∈ ℜ en que a ≠ 0 y b ≠ 0 se tiene que:
i) (a-1)-1 = a iii) a . b-1 = (a-1 . b)-1 ii) a-1 b = (a . b-1)-1 iv) a-1 . b-1 = (a . b)-1

Demostración: i) (a-1)-1 = (a-1)-1 . 1 = (a-1)-1 . ( a . a-1) = [(a-1)-1 . (a-1)] . a = 1.a = aTarea: Demostrar i), ii), iii) e iv). ⇒ (a-1)-1 = a

Teorema 7:

Leyes de Cancelación: i) a + b = a + c ⇔ b = c ii) a . b = a . c ⇔ b = c a ≠ 0

Demostración:

ii) Si a ≠ 0 ⇒ ∃ a-1 entonces si: a . b = a . c a-1 . (a . b) = a-1 . (a . c)

por la

compatibilidad de la igualdad con la multiplicación: (a-1 . a) . b = (a-1 . a) . c ⇒ b = c. El recíproco corresponde a la compatibilidad...