Ningu

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DERIVADAS.
TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

Página 255
REFLEXIONA Y RESUELVE
Tangentes a una curva

y = f (x )

5
3

–5

■

9

14

Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f ' (3), f ' (9) y f ' (14).
f ' (3) = 0; f ' (9) =

■

3

–3
; f ' (14) = 1
4

Di otros tres puntos en los que la derivada es positiva.
La derivada también es positiva en x = – 4, x = –2, x= 0…

■

Di otro punto en el que la derivada es cero.
La derivada también es cero en x = 11.

■

Di otros dos puntos en los que la derivada es negativa.
La derivada también es negativa en x = 4, x = 5…

■

Di un intervalo [ a, b ] en el que se cumpla que “si x é [ a, b ], entonces
f ' (x) > 0”.
Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x é [–5, 2], entonces f ' (x) >0.

Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación

1

Función derivada
■

Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (x).
• En el intervalo (a, b), f (x)
es decreciente. Por tanto, su
derivada es negativa. Es lo
que le pasa a g (x) en (a, b).

y = f (x )

• La derivada de f en b es 0:
f' (b) = 0. Ytambién es
g (b) = 0.

b
a

• En general:
g (x) = f ' (x) = 0 donde f (x)
tiene tangente horizontal.
y = g (x ) = f ' (x )

g (x) = f ' (x) > 0 donde f (x)
es creciente.

b
a

g (x) = f ' (x) < 0 donde f (x)
es decreciente.

■

Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas
de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden.
Explica razonadamente cuál es lade cada una.

1) B

1

2

3

A

B

C

2) A
3) C
La derivada se anula en los
puntos de tangente horizontal,
es positiva donde la función es
creciente, y es negativa donde
la función decrece.

2

Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación

UNIDAD

9

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1. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
1–x
1–x
a) f (x) =
b) f (x) =
1+x1+x

√

c) f (x) = ln

e) f (x) =

√

1–x
1+x

d) f (x) =

1 – tg x
1 + tg x

1 – tg x
1 + tg x

f ) f (x) = ln √e tg x

g) f (x) = √3 x + 1

h) f (x) = log (sen x · cos x)2

i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x

j ) f (x) = sen √x + 1 · cos √x – 1

k) f (x) = arc sen √x

l) f (x) = sen (3x5 – 2√x + √2x )

m) f (x) = √sen x + x 2 + 1

n) f (x) = cos2 √x + (3 – x)23

3

–2
a) f' (x) = –1 · (1 + x) – (1 – x) · 1 = –1 – x – 1 + x =
(1 + x) 2
(1 + x) 2
(1 + x) 2
b) Utilizamos el resultado obtenido en a):
f' (x) =
2

√

–1
1
–2
·
=
(1 + x) 2 √ (1 – x)(1 + x) 3
1–x
1+x

c) Utilizamos el resultado obtenido en a):
f' (x) =

1
–2
–2(1 + x)
·
=
= –2
1 – x (1 + x) 2
(1 – x)(1 + x) 2
1 – x2
1+x

De otra forma: Si tomamoslogaritmos previamente:
f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos:
f' (x) =

–1
1
–
= –1 – x – 1 + x = –2
1–x
1+x
1 – x2
1 – x2

2
2
d) f' (x) = – (1 + tg x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg x) =
2
(1 + tg x)
2
2
= (1 + tg x)[–1 – tg x – 1 + tg x] = – 2(1 + tg x)
2
(1 + tg x)
(1 + tg x) 2

De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a):
f' (x) =

2
–2
–2· D [tg x] =
· (1 + tg 2 x) = – 2(1 + tg x)
2
2
(1 + tg x) 2
(1 + tg x)
(1 + tg x)

Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación

3

e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d):
f' (x) =
2

√

2
– (1 + tg 2 x)
1
· – 2(1 + tg x) =
(1 + tg x) 2
1 – tg x
√ (1 – tg x)(1 + tg x) 3
1 + tg x

También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b).
f)

tg xf (x) = ln √ e tg x = ln e (tg x) / 2 =
2
f ' (x) =

1 + tg 2 x
2

g) f (x) = √ 3 x + 1 = 3 (x + 1) / 2
f' (x) = 3 (x + 1) / 2 ·

1
ln 3 √ 3 x + 1
· ln 3 =
·
2
2

h) f (x) = log (sen x · cos x)2 = 2 [log (sen x + log (cos x)]
f' (x) = 2

=

[

]

cos x
1
–sen x
1
2
cos 2 x – sen 2 x
·
+
·
=
·
=
sen x ln 10
cos x
ln 10
ln 10
sen x · cos x

4
4
cos...