Newton Raphson

ANÁLISIS NUMÉRICO

2.3

ICM ESPOL

Método de Newton

Sea f: R→R, dada la ecuación f(x)=0, encuentre r tal que f(r)=0. Entonces r es una raíz real de
la ecuación
El método de Newton se fundamenta en el método del punto fijo. Consiste en elegir g(x) en la
ecuación x = g(x) tal que el orden de convergencia sea de segundo orden
2.3.1 Obtención de la fórmula de Newton
Suponer que g es unafunción diferenciable en una región que incluye a la raíz r y al valor
calculado xi. Entonces, desarrollando con la serie de Taylor:
g(xi) = g(r) + (xi - r) g’(r) + (xi - r)2g’’(r)/2! + . . .
Sustituimos las definiciones del método del método del punto fijo:
r = g(r)
xi+1 = g(xi), i = 0, 1, 2, 3, . . .
Se obtiene:
xi+1 = r + (xi - r) g’(r) + (xi - r)2g’’(r)/2! + . . .
Con las siguientesdefiniciones para el error de truncamiento:
Ei = xi - r:
Error absoluto en la iteración i
Ei+ 1 = xi+1 - r:

Error absoluto en la iteración i +1

Sustituyendo se obtiene:
Ei+ 1 = Ei g’(r) + Ei2 g’’(r)/2! + . . .
Si se pudiese hacer que g’(r) = 0, siendo g’’(r) ≠ 0, entonces se tendrá:
Ei+ 1 = O( Ei2 ),
Con lo que el método tendrá convergencia cuadrática
El procedimiento para hacer queg’(r) = 0, consiste en elegir una forma especial para g(x)
g(x) = x - f(x) h(x), en donde h es alguna función que debe especificarse
Es necesario verificar que la ecuación x = g(x) se satisface con la raíz r de la ecuación f(x) = 0
g(r) = r - f(r) h(r) = r ⇒ g(r) = r
Derivar g(x) y evaluar en r
g’(x) = 1 - f’(x) h(x) - f(x) h’(x)
g’(r) = 1 - f’(r) h(r) - f(r) h’(r) = 1 - f’(r) h(r)
Para que laconvergencia sea cuadrática se necesita que g’(r) = 0
g’(r) = 0 ⇒ 0 = 1 - f’(r) h(r) ⇒ h(r) = 1/f’(r) ⇒ h(x) = 1/f’(x)
Que permite determinar h(x) para que la convergencia sea cuadrática.
Entonces, sustituyendo en la fórmula propuesta se obtiene x = g(x) = x - f(x)/f’(x)
Con lo cual se puede escribir
Definición: Fórmula Iterativa de Newton
xi + 1 = xi −

f(xi )
,
f '(xi )

f(xi ) ≠ 0, i = 0, 1, 2, . . .

Ing. Luis Rodríguez Ojeda, MSc.

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Ejemplo. Calcule una raíz real de f(x) = ex - πx = 0 con la fórmula de Newton
Suponer el valor inicial: x0 = 0.5
f(x 0 )
e x 0 − πx 0
e0.5 − 0.5 π
= x0 − x
= 0.5 −
= 0.5522
x1 = x 0 −
f '(x 0 )
e0.5 − π
e 0 −π
x 2 = x1 −

f(x1 )
e x1 − πx1
e0.5522 − 0.5522π
= x1 − x
= 0.5522 −
= 0.5538f '(x1 )
e0.5522 − π
e 1 −π

f(x 2 )
e x2 − πx 2
e0.5538 − 0.5538π
= x2 − x
= 0.5538 −
= 0.5538
f '(x 2 )
e0.5538 − π
e 2 −π
En los resultados se observa la rápida convergencia. En la tercera iteración el resultado tiene
cuatro decimales que no cambian
x3 = x2 −

2.3.2

Interpretación gráfica del método de Newton

Suponer que f es como se muestra en el siguiente gráfico y x0es el valor inicial:

Seguimos el siguiente procedimiento:
Calcular f(x0)
Trazar una tangente a f en el punto (x0, f(x0)) hasta intersecar al eje horizontal
El punto obtenido es x1
Entonces tan(α0) = f’(x0) = f(x0)/(x0 – x1) de donde se obtiene x1 = x0 – f(x0)/f’(x0)
Calcular f(x1)
Trazar una tangente a f en el punto (x1, f(x1)) hasta intersecar al eje horizontal:
El punto obtenido es x2Entonces tan(α1) = f’(x1) = f(x1)/(x1 – x2) de donde se obtiene x2 = x1 – f(x1)/f’(x1)
...
Con estos dos resultados se puede generalizar:
tan(αi) = f’(xi) = f(xi)/(xi – xi+1) de donde se obtiene xi+1 = xi – f(xi)/f’(xi)
Es la fórmula de Newton.
Esta interpretación gráfica permite observar que la secuencia de valores calculados con la
fórmula de Newton sigue la trayectoria de las tangentes af(x) y que cuando se produce
convergencia, esta secuencia tiende a la raíz r. En la siguiente sección se analiza la propiedad
de convergencia de éste método.

Ing. Luis Rodríguez Ojeda, MSc.

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2.3.3 Análisis de convergencia del método de Newton
Para que la fórmula iterativa de Newton converja se requiere que |g’(x)| f(xi ) + (r − xi )f '(xi ) ⇒ r < xi...