Modulo 1

Ecuaciones
Ecuaciones
Ecuación es una igualdad entre
expresiones algebraicas en las
que figuran una o más letras,
denominadas incógnitas, que
representan números reales.

Ecuaciones
Ejemplos:
3x +4 = x – 1

(una
(una incógnita)
incógnita)

2x22y + 4 = x +y

(dos
(dos incógnitas)
incógnitas)

3x –8y+5z = - 1

(tres
(tres incógnitas)
incógnitas)

- x +3y = 7

(dos
(dos incógnitas)
incógnitas)

2xy– y = 0

(dos
(dos incógnitas)
incógnitas)

Ecuaciones
Ecuaciones

Ecuaciones
Ecuaciones

Grado
Grado de
de una
una ecuación:
ecuación:

Grado
Grado de
de una
una ecuación:
ecuación:

El
El grado
grado de
de un
un término
término es
es el
el número
número
de
de factores
factores literales
literales que
que contiene.
contiene.
Por
Por ejemplo:
ejemplo:
El grado
grado de
de –2x
–2x22 es
El
es dos
dosEl
es cuatro
cuatro
El grado
grado de
de 4xy
4xy33 es

El
El grado
grado de
de una
una ecuación
ecuación es
es igual
igual al
al
grado
grado de
de su
su término
término de
de mayor
mayor grado.
grado.

Ecuaciones
Ecuaciones
Resolver
Resolver una
una ecuación
ecuación consiste
consiste en
en
encontrar
encontrar el
el o
o los
los valores
valores de
de la
la o
o las
las
incógnitas
incógnitas parapara los
los cuales
cuales se
se verifica
verifica la
la
igualdad.
igualdad.
El conjunto formado por estos valores
recibe el nombre de solución de la
ecuación.

Ejemplos:
x+9 – 3x = 2

(Primer grado, una incógnita)

x2 + 3xy = 9y (Segundo grado, dos incógnitas)
2x3+3x2 = -4

(Tercer grado, una incógnita)

2x– 5y+z= 3

(Primer grado, tres incógnitas)

Ecuaciones
Ecuaciones
La
La solución
solución dede una
una ecuación
ecuación es
es un
un
conjunto
conjunto que
que puede
puede tener:
tener:

Un
Un número
número finito
finito de
de elementos.
elementos.
Solución
Solución finita.
finita.
Un
Un número
número infinito
infinito de
de elementos.
elementos.
Solución
Solución infinita.
infinita.
No
No tener
tener ningún
ningún elemento.
elemento.
Solución
vacía
Solución vacía..

1
1

Ecuaciones
ParaPara resolver
resolver una
una ecuación,
ecuación, es
es decir
decir para
para
encontrar
encontrar su
su solución,
solución, es
es importante
importante conocer
conocer
el
el siguiente
siguiente concepto:
concepto:

Ecuaciones equivalentes: Dos o más
ecuaciones son equivalentes si y sólo
sí tienen la misma solución.
¿Cómo
¿Cómo se
se obtiene
obtiene una
una ecuación
ecuación equivalenteequivalente aa
partir
partir de
de una
una dada?
dada?

Ecuaciones
Sólo vamos a resolver:

Ecuaciones de primer grado con
una incógnita. (lineales)
Ecuaciones de segundo grado con
una incógnita. (cuadráticas)
Ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas. (lineales)

Ecuaciones
Resolución
En este caso, mediante las operaciones
permitidas,
se
obtienen
ecuaciones
equivalentes hasta despejar la incógnita.
PorPor ejemplo:
ejemplo:
x + 3(x + 2) = 6 – 2x
x + 3x + 6 = 6 – 2x
x + 3x +2x = 6 – 6 ⇒ 6x = 0 ⇒ X = 0

Ecuaciones
Operaciones permitidas:
Sumar o restar la misma expresión en
ambos miembros de la ecuación, esta
expresión sólo puede incluir las mismas
incógnitas que la ecuación.
Multiplicar o dividir ambos miembros de la
ecuación por un mismo número real distinto
de cero.
Reemplazar
Reemplazarcualquiera
cualquiera de
de los
los miembros
miembros de
de
la
la ecuación
ecuación por
por una
una expresión
expresión igual.
igual.

Ecuaciones
Resolución
Ecuación
Ecuación lineal
lineal con
con una
una incógnita
incógnita

Expresión
Expresión General
General ::

ax+b=0
donde
donde a
ay
yb
b son
son números
números reales
reales y
y
a
a ≠≠ 0
0

Ecuaciones
Resolución
Ecuación
Ecuación cuadrática,cuadrática, segundo
segundo grado
grado
con
con una
una incógnita
incógnita

Expresión
Expresión General
General ::

a x22 + b x + c = 0
donde
donde a,
a, b
by
y cc son
son números
números reales
reales
y
ya
a ≠≠ 0
0

2
2

Ecuaciones

Ecuaciones

Resolución

Resolución

Los valores de x que verifican la
igualdad o raíces de la ecuación, se
calculan mediante la fórmula:

2

x = − b ± b - 4.a.c
2a...