MODELOS LINEALES 2

MODELOS LINEALES
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Y MULTIPLE
En la investigación práctica se encuentran frecuentemente situaciones en las que una variable Y, viene determinada por otra u otras variables, X1;…; X m. La relación puede ser escrita como Y = f(X1;…; Xm). La variable Y es denominada dependiente, de respuesta, ó explicada, mientras que las variables Xi se denominan independientes, predictoras,explicativas ó covariables.
Este tipo de relaciones se utiliza para:
1. predecir los valores de la respuesta a partir de las variables independientes.
2. Determinar el efecto de cada variable independiente sobre la respuesta.
3. Confirmar, sugerir o refutar relaciones teóricas.

Conocida la posible dependencia entre las variables se tendría que determinar la forma de la relación, generalmentesugerida a través de la teoría de la materia objeto de estudio o a través de la revisión de experimentos anteriores. La forma más usada en la práctica es
La característica más importante de los fenómenos estudiados en investigaciones aplicadas es la variabilidad intrínseca de los resultados. Por esta razón es necesario introducir en elmodelo arriba escrito el término de error procedente de errores aleatorios que manifiesten la variabilidad intrínseca del fenómeno y/o errores de medida.
El modelo sería entonces:

Donde es el error o perturbación aleatorio y los coeficientes son los parámetros del modelo.
Si se hacen, n observaciones de llegando a los datos, donde es un valor de la variable muestral correspondiente a losvalores de las variables independientes
De esta forma se llega al modelo estadístico:


La expresión del modelo en forma matricial es:



Dónde:
Es el vector de observaciones de la variable dependiente.
Es la matriz de diseño o matriz de datos.
Es el vector de parámetros o coeficientes del modelo.
Es el vector de errores aleatorios correspondientes a cada observación.

Cada representa elcambio esperado en la respuesta , por cada unidad de cambio en , considerando a las demás variables regresoras constantes. El coeficiente es el intercepto de la recta regresora con el eje Y.

Estimación de los Parámetros
Para estimar los valores de los coeficientes , se aplica el Método de Los Mínimos Cuadrados, que establece que cada parámetro se estima con el estimador , de la siguiente manera:Dónde:
Es la matriz de datos del problema
Es la transpuesta de la matriz de datos
Es la matriz de observaciones de la variable de respuesta
Es la inversa del producto entre

Ejemplo:
En la siguiente tabla se muestran las ventas anuales (en millones de pesos) de una empresa de aspiradoras. Se especifican las variables dónde:
: Es el ingreso anual por ventas en millones de pesos.
: Esel gasto anual en publicidad realizado por la empresa, en millones de pesos.
: Es el precio de ventas del producto por unidad, en millones de pesos




120
8
100
115
9
102
130
10
95
142
14
90
148
12
92
144
16
94
165
20
88
160
22
86
175
26
90
180
24
86

Se piensa que las ventas siguen un modelo lineal. Considerando a la variable, ventas como dependiente y a las variables, gastos en publicidad yprecio de venta por unidad como independientes:
a) Halla los coeficientes.
b) Escribe el modelo lineal que relaciona al ingreso anual por ventas, con los gastos de publicidad y precio de venta por unidad.




EJEMPLO EN R:
> X<-c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,8,9,10,14,12,16,20,22,26,24,100,102,95,90,92,94,88,86,90,86)
> X
[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 9 10 14 12 16 20 22 26
[20]24 100 102 95 90 92 94 88 86 90 86
> dim(X) <- c(10,3)
> X
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 8 100
[2,] 1 9 102
[3,] 1 10 95
[4,] 1 14 90
[5,] 1 12 92
[6,] 1 16 94
[7,] 1 20 88
[8,] 1 22 86
[9,] 1 26 90
[10,] 1 24 86
> Y<- c(120,115,130,142,148,144,165,160,175,180)
> Y
[1] 120 115 130 142 148 144 165 160 175 180
>...

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