Metodos Numericos Newton Raphson

APUNTES DE MÉTODOS NUMÉRICOS I

Ing. Arturo J. López García

2009

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página
1. Errores
1.1 Sistemas numéricos de punto flotante
1.2 Sistemas de punto flotante de computadoras reales
1.3 Algoritmos estables e inestables

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2. Solución de ecuaciones no lineales
2.1 Método iterativo de punto fijo
2.2 Aceleración de la convergencia
2.3 Método de Newton-Raphson2.4 Método de la secante
2.5 Método de la bisección
2.6 Orden de convergencia

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3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales
3.1 Eliminación de Gauss
3.2 Pivoteo máximo de columna
3.3 Descomposición LU
3.4 Solución de sistemas tridiagonales
3.5 Métodos iterativos: Jacobi y Gauss Seidel

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4. Solución de sistemas de ecuaciones nolineales
4.1 Método de punto fijo multivariable
4.2 Método de Newton Raphson multivariable
4.3 Método de Broyden
4.4 Método del descenso más brusco

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1. Errores
El resolver problemas numéricos mediante una computadora implica la presencia de dos tipos de
errores: truncamiento y redondeo.
Los errores de truncamiento tienen que ver con el método matemáticoempleado en la solución
del problema. Un ejemplo clásico es la aproximación de la función exponencial mediante un
polinomio de Taylor. Esta función se define con la serie McLaurin:

Dado que no es factible calcular un número infinito de sumandos, es necesario entonces
aproximar ex a través de un polinomio de un grado conocido. En una decisión de este tipo se
introduce un error de truncamiento,el cual siempre es una función exclusiva del método
empleado. Por ejemplo, si el polinomio de Taylor es de tercer grado

entonces el error de truncamiento estará dado por la suma de todos los términos no incluidos en
la aproximación.
Los errores de redondeo aparecen al ejecutar operaciones aritméticas con una computadora. Dado
que los valores numéricos no pueden ser representados en lamemoria de una computadora con
un número infinito de cifras, los errores de redondeo son inevitables. Para poder entender como
se generan y se propagan este tipo de errores es necesario conocer la manera en que los valores
numéricos son representados dentro de una computadora, es decir, su sistema numérico de punto
flotante.

1.1 Sistemas numéricos de punto flotante
Dentro de la memoria de unacomputadora los valores numéricos son representados mediante
aproximaciones conocidas como de punto flotante (floating point). La forma general de este tipo
de representaciones es:
± . d1d2d3 ....... dp * Be
en la cual los p dígitos d1d2d3 ....... dp son la mantisa del número, B la base y e el exponente. Si
d1…0 entonces se trata de una representación normalizada. Cuando la base es binaria (B =2) y la
representación normalizada, entonces d1 siempre será un 1 y frecuentemente no se ocupa un bit
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para almacenarlo (bit escondido). El número de dígitos p de la mantisa es conocido como
precisión.
Suponiendo una base B = 10 y una precisión de cinco dígitos (p = 5), los siguientes son ejemplos
de notación normalizada:

Número

Representación
normalizada de
punto flotante27.39

.27390X102

-.000124

-.12400X10-3

370285

.37029X106

3.141592

.31416X101

.66666667

.66667X100

Supóngase un sistema normalizado muy simplificado con base binaria, bit escondido, una
precisión p de dos dígitos y un exponente e tal que -2 # e # 3. En este sistema los números
posibles son:
±.102 * 2-2 = ±1/8

±.112 * 2-2 = ±3/16

±.102 * 2-1 = ±1/4

±.112 * 2-1= ± 3/8

±.102 * 20 = ±1/2

±.112 * 20 = ±3/4

±.102 * 21 = ± 1

±.112 * 20 = ±3/2

±.102 * 22 = ±2

±.112 * 22 = ±3

±.102 * 23 = ±4

±.112 * 23 = ± 6

El cero (0) también se incluye en el sistema no obstante que por definición es una cantidad no
normalizada.
Considere la siguiente gráfica que muestra los valores positivos arriba mostrados

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Este sistema simplificado...