medio continuo

CONTENIDO

1. Introducción


2. Notación indicial con índices de rango 3

2.1. Notación indicial con índices de rango 3 (expansión de expresiones)

3. Operador inicial delta de Kronecker

3.1. Expansión de expresiones con delta de Kronecker

4. Operador de permutación


5. Diadas y diádicas


5.1. Diadicas simétricas y antisimetricas

6. Conclusión




1. INTRODUCCIONEn esta unidad mediante los conocimientos obtenidos sobre análisis vectorial se reafirman mediante ejercicios realizados en clase y con los apuntes teóricos por temas otorgados por el maestro.
De igual forma se aprenden o se adquieren los conocimientos necesarios sobre el análisis tensorial para el estudio de la mecánica del medio continuo.
También se dan o se muestran algunos temascomo notación indicial, producto vectorial, transformación de sistema coordenado y diádicas.













2. Notación indicial con índices de rango 3
Ejercicios:
Cuál es el orden de los tensores representados por sus componentes y determinar cuántos componentes independientes tiene cada tensor (rango 3).
δ i j = orden 2 32 = 9 componentes

Ƹ i j k Ҩ i b k = orden 131 = 3 componentes

0 0
A m n p Ҩ i = orden 4 34 = 81 componentes
Ø q p q = orden 1 31 = 3 componentes

0
F i j E j i = orden 0 30 = 1 componente

0 0
ϛ m n ϛ n p = orden 2 9 componentes

0
Reflexión:
En estos ejercicios lo que se está buscando es el orden y de esta manera encontrar los componentes que tendrá cada tensor. Cuando setiene 1 índice libre se dice que es un tensor de 1er orden, cuando se tuenen 2 indices libres es de 2do orden y así sucesivamente.
Cuando se tienen 2 indices iguales por ejemplo A i n i m en este caso i se repite y el producto dará como resultado 0 por lo tanto solo queda m n y se dice que es de segundo orden.
2.1. Notación indicial con índices de rango 3 (expansión de expresiones)
Ejercicios:1. A i i =orden 0 30 = 1 componente
i = columnas A11 + A22 + A33
2. B i j j = orden 1 31 = 3 componentes
i = columnas
j = filas
B111 B211 B311 B111+B122+B133
B122 B222 B322 = B211+ B222+B233
B133 B233 B333 B311+B322+B333

3. R i j = orden 232 = 9 componentes
i = filas
j = columnas
R11 R12 R13
R21 R22 R23
R31 R32 R33

4. α i T i j = orden 1 31 = 3 componentes
i = filas
j = columnas

α1 T11 α1 T12 α1 T13
α2 T21 α2 T22 α2 T23 =
α3 T31 α3 T32 α3 T33

5. Ҩ i b j ϛ i j = orden 0 30 = 1 componente
i = filasj = columnas



Reflexion: en los ejercicios de expansión de expresiones se definen los índices como filas o columnas y de esta forma se forman las matrices, cuando los índices son iguales el producto es 0 como se había mencionado y el indice que queda libre y ya definido como fila o columna será la que se sumara. en el ejercicio 2 el indice j es el que queda libre y se define como fila porlo tanto se sumaran las filas.


Dadas las componentes cartesianas del tensor de segundo orden A:

4 3 2
A i j = 1 5 6
3 2 1

Resolver las siguientes ecuaciones con índice de rango 3.
1. A j j = A11 + A22 + A33 = 4 + 5 +1 = 10
2. AmmAnn =

A11A11 + A11A22 + A11A33
A22A11 + A22A22 + A22A33 =
A33A11+ A33A22 + A33A33


3. AmnAnm =

A11A11 + A12A21 + A13A31
A21A12 + A22A22 + A23A32 =
A31A13 + A32A23 + A33A33

4. AnmAmn =
A11A11 + A21A12 + A31A13
A12A21 + A22A22 + A32A23 =
A13A31 + A23A32 + A33A33

Reflexión: Cuando se dan las componentes cartesianas de un tensor se pueden resolver con los valores dados como se...