Medidas de posicion

Concepto de desviación media.
Se llama desviación media a la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
Cálculo de la desviación media: Sea X una v.e. que toma los valores con frecuencias absolutas respectivamente. La desviación media viene dada por la expresión:

O bien:

Cuanto mayor es la desviación media más dispersa o menos concentradaestán los datos.
Uso de la desviación media.
La desviación media se puede utilizar como medida de dispersión en todas aquellas distribuciones en las que la medida de tendencia central más significativas haya sido la media. Sin embargo, para las mismas distribuciones es mucho más significativa la desviación típica, que estudiaremos a continuación, y eso hace que el uso de la desviación mediasea cada vez más restringido.
La desviación media viene a indicar el grado de concentración o de dispersión de los valores de la variable. Si es muy alta, indica gran dispersión; si es muy baja refleja un buen agrupamiento y que los valores son parecidos entre sí.
Concepto de desviación típica.
Es sin duda la medida de dispersión más importante, ya que además sirve como medida previa alcálculo de otros valores estadísticos.

La desviación típica se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de la distribución. Es decir,

Para datos sin agrupar, o bien:

Cálculo de la desviación típica para datos no agrupados en clases

Veamos la fórmula anterior aplicada a un caso concreto.

Hallar la desviación típica de la serie: 5,8, 10, 12, 16.

x | | 2 |
5 | -5,2 | 27,04 |
8 | -2,2 | 4,84 |
10 | -0,2 | 0,04 |
12 | 1,8 | 3,24 |
16 | 5,8 | 33,64 |

Primero hallamos = 10,2

Luego S =

Cálculo de la desviación típica para datos agrupados en clases y agrupados por frecuencias

Método largo: Se aplica la siguiente fórmula

Donde y f es la frecuencia absoluta de cada intervalo.

Método abreviado ocorto: La fórmula a utilizar es:

Donde:
I: amplitud de la clase
D: distancia en clases desde cada una en concreto a la clase que contiene a la media supuesta A.

Ejemplo: Las alturas en cm de un grupo de 103 personas se distribuyen así:

Clases | f |
150 – 155155 – 160160 – 165165 – 170170 – 175175 – 180180 – 185185 – 190190 – 195195 – 200 | 361218251710741103 |
Resp: S = 9,56

Usode la desviación típica.
Se emplean para medir las variaciones con respecto a la media de los valores de las observaciones.
Mientras mas pequeña sea la desviación típica es más probable. Obtener un valor cercano a la media, mientras mayor sea la desviación típica, es mas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la media, mientras mayor sea la desviación, es mas probable encontrar uobtener un valor alejado de la media.
Concepto de varianza.
La varianza (que suele representarse como ) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.
Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa enmetros al cuadrado. La desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.
Dada una variable aleatoria X con media μ = E(X), se define su varianza, Var(X) (también representada como o, simplemente σ2), como

Desarrollando ladefinición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):

Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice k satisface 1 < k ≤ 2.

Uso de la varianza.
Hay que tener en cuenta que la...