MATLAB

VALORES Y VECTORES PROPIOS
Ö En

diversos campos de la ingeniería y las matemáticas
surge el problema de calcular los valores escalares λ y
los vectores x≠0 tales que para la matriz cuadrada A
se cumple
Ax = λx
(1)

Ö Algunos

de estos campos de aplicación son:
- Ecuaciones diferenciales
- Estabilidad de sistemas lineales
- Sistemas eléctricos (componentes simétricas)
- Polos yceros de funciones transferencia
- Diagonalización de matrices

Ö Podemos

averiguar si el problema planteado por (1)
tiene solución si la reescribimos como sigue
(A - λΙ)x = 0

(2)

Ö Así

el problema se transforma en el ya conocido
sistema lineal homogéneo Bx=0, el cual ya sabemos
que tiene solución única x=0 cuando det(B)≠0. Justamente este es el caso que no nos interesa.
número λse dice valor propio de A (matriz cuadrada) si y sólo si

Ö El

det(A - λΙ) = 0
(3)
esta es la ecuación característica de la matriz A.

Ö El

determinante que aparece en (3) resulta ser un
polinomio en potencias de λ. Por ello a la expresión
a(λ)=det(A - λΙ)
(4)
se le llama polinomio característico de la matriz A.

O Observación: El polinomio característico de una matriz
dedimensión n×n es de grado n, por lo cual tendrá n
posibles valores propios λ que satisfacen (3)
λ es un valor propio de A y si x es el vector no nulo
tal que Ax = λx entonces x se dice vector propio de A
correspondiente al valor propio λ

Ö Si

Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para
la matriz A =

4 −5
2 −3

Solución: La ecuación característica queda:
det(A − kI) = det4 − k −5
=0
2 −3 − k

o sea:
(4-λ)(-3-λ) + 10 = λ 2 - λ
-2=0
factorizando:
(λ+1)(λ−2) = 0
con lo cual obtenemos dos valores propios:
λ1 = -1, λ2 = 2
buscamos ahora los correspondientes vectores propios:
para λ1 = -1:
(a − k 1 I)x =

5 −5
2 −2

x1
x2

=

0
0

el sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones
de la forma x=[x1, x1]t. Así, por ejemplo x=[1 1]t es unvector propio correspondiente a λ1 = -1.
para λ2 = 2:
(a − k 1 I)x =

2 −5
2 −5

x1
x2

=

0
0

nuevamente el sistema obtenido tiene una infinidad de
soluciones de la forma x=[x1, 0.4x1]t. Así, por ejemplo
x=[5 2]t es un vector propio correspondiente a λ2 =
2.
Ö Como

puede verse del ejemplo anterior, a un valor
propio λ en general le corresponden una infinidad de
vectorespropios este conjunto infinito es un espacio
vectorial y se denomina el espacio propio correspondiente a λ

ð Obsérvese además que para un λk dado, su espacio
propio correspondiente es el espacio nulo de la matriz
(A-λI).
: en Matlab:
» % Introducimos la matriz del ejemplo
» A=[4 -5;2 -3];
» % Calculamos sus valores propios:
» eig(A)
ans =
2
-1
» % Calculamos sus vectores propiosunitarios:
» [V,D]=eig(A);
V =
0.9285
0.7071
0.3714
0.7071
D =
2
0
0
-1

Propiedades Básicas de los valores propios
Ö La

suma de los n valores propios de la matriz A es igual
a su traza:
λ1+λ2+...+λn
=
traza(A)

Ö El

producto de los n valores propios de la matriz A es
igual a su determinante:
λ1λ2...λn
=
det(A)

Ö Los

valores propios de una matriz triangular(superior
o inferior) son los valores de su diagonal.

@Tarea: Para la matriz A =

01
. Calcula sus valores
10

propios, sus vectores propios unitarios correspondientes y verifica las dos primeras propiedades anteriores.
Diagonalización
Ö Dada

una matriz cuadrada A, y una matriz invertible T.
A la matriz B=T-1AT se le llama matriz similar a A y a la
operación T-1AT se le llamatransformación de
similaridad

Ö Propiedades

básicas: Una transformación de similaridad es una relación de equivalencia porque es:
- Reflexiva: Una matriz es similar a sí misma.
- Simétrica: Si A es similar a B, B es similar a A.

- Transitiva: Si A es similar a B y B es similar a
C, entonces A es similar a C.
@Tarea: a) Demostrar las propiedades básicas. b) Dar
otro ejemplo de una relación...