Matematica

DETERMINACION DE LAS ECUACIONES DE LAS TANGENTES A LAS CURVAS CONICAS

TANGENTE DE UNA CIRCUNFERENCIA:

La determinación de la ecuación de una tangente a una circunferencia se simplifica considerablemente por la propiedad de la circunferencia, que dice: la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de contacto.
La ecuación de la tangente a una circunferenciadada está perfectamente determinada cuando se conocen su pendiente y el punto de contacto (o algún otro de sus puntos). Si se tiene uno de estos datos el otro debe determinarse a partir de las condiciones del problema, según esto tenemos los elementos necesarios para la solución de cualquier problema particular.
Vamos a considerar tres problemas, a saber:

1) Hallar la ecuación de la tangente auna circunferencia dada en un punto dado de contacto;
2) Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que tiene una pendiente dada;
3) Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que pasa por un punto exterior dado.

Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia:

x² + y² - 8x – 6y + 20 = 0

en el punto( 3, 5).

Solución. La ecuación de la familia de rectas que pasa por el punto (3, 5) es:

y – 5 = m(x – 3)

en donde el parámetro m es la pendiente de la tangente buscada. De la ecuación (1), y = mx – 3m + 5, y sustituyendo este valor en la ecuación de la circunferencia, resulta:

x² + (mx – 3m + 5)² - 8x – 6(mx – 3m + 5) + 20 = 0

que reduce a

(m² + 1) x² - (6 m² -4m + 8) x + (9 m² - 12m + 15) = 0

La recta (1) será tangente a la circunferencia dada siempre que las raíces de esta última ecuación sean iguales, es decir, siempre que el discriminante se anule.
Deberá pues verificarse la condición:

(6 m² - 4m + 8)² - 4(m² + 1) (9 m² - 12m + 15) = 0

La solución de esta ecuación es m = ½, de manera que, de (1), la ecuación de la tangente buscada es:y – 5 = ½ (x – 3)
o sea
x – 2y + 7 = 0

Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia .

x² + y² - 10x + 2y + 18 = 0

y que tiene la pendiente 1

Solución: La ecuación de la familia de rectas de pendiente 1 es:

y = x + k

siendo k un parámetro cuyo valor debe determinarse. Si el valor de y dado por y = x + k se sustituye en la ecuación de lacircunferencia, se obtiene:

x ² + (x + k)² - 10x + 2(x + k) + 18 = 0

o sea

2x² + (2k – 8) x + k² +2k + 18) = 0

La condición de tangencia es:

(2k – 8)² - 8 (k² + 2k + 18) = 0.

Las raíces de esta ecuación son k = - 2, -10. Por tanto de y = x + k, las ecuaciones de las tangentes buscadas son:

y = x – 2 y y = x – 10

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la tangentetrazada del punto (8, 6) a la circunferencia x² + y² + 2x + 2y – 24 = 0.

Ejemplo:
La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (8, 6) es

y – 6 = m(x – 8).

En donde el parámetro m es la pendiente de la tangente buscada. De la ecuación y – 6 = m(x – 8) ; y = mx – 8m + 6, valor que sustituido en la ecuación de la circunferencia, da

x² + (mx – 8m + 6)² + 2x + 2(mx – 8m +6)– 24 = 0

la cual se reduce a:

(m² + 1) x² - (16m² - 14m – 2) x + (64 m² - 112m + 24) = 0

La condición para tangencia es:

(16 m² - 14m – 2)² - 4(m² + 1) (64 m² - 112m + 24) = 0

Resolviendo esta ecuación se encuentra que sus soluciones son:

m = 1, 23
5 11

Por tanto de y – 6 = m(x – 8), las ecuaciones de las tangentes que cumplen las condiciones dada son:y – 6 = 1 (x – 8) Y y – 6 = 23 (x – 8)
5 11

o sea:

x – 5y + 22 = 0 Y 23x – 11y – 118 = 0

ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA:
Cómo la ecuación de la parábola es de segundo grado, consideramos los tres casos siguientes:
❖ Tangente en un punto medio de contacto dado.
❖ Tangente con una pendiente...