Matemáticas

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006

MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO

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Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A Reserva 3,Ejercicio 4, Opción B Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B Septiembre, Ejercicio 4, Opción A Septiembre, Ejercicio 4, Opción B

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Considera el plano π de ecuación 2 x + y − z + 2 = 0 y la recta r de ecuación

x−5 z−6 = y= m −2

a) Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m. b) Para m = −3 , halla el planoque contiene a la recta r y es perpendicular al plano π . c) Para m = −3 , halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π . MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Podemos pasar la ecuación de la recta r a implícitas  x + 2y = 5 x−5 z −6 =y= ⇒  −2 m mx + 2 z = 12 + 5m 2 x + y − z = −2   x + 2y = 5 Estudiamos el sistema formado por lasecuaciones de la recta y el plano  mx + 2 z = 12 + 5m  

2

1 −1 0 = 6 + 2m = 0 ⇒ m = − 3 2
R(M)
3 3 Recta paralela al plano. Recta secante al plano.

A = 1 2 m 0
R(A)
m = −3 m ≠ −3 2 3

b) La ecuación de todos los planos que contienen a la recta r es: x + 2 y − 5 + k (−3 x + 2 z + 3) = 0 ⇒ (1 − 3k ) x + 2 y + 2k z − 5 + 3k = 0 El vector normal de este plano (1 − 3k , 2, 2k ) y elvector normal del plano π (2,1, −1) , tienen que ser perpendiculares, luego su producto escalar vale 0.

(1 − 3k , 2, 2k ) ⋅ (2 ,1, − 1) = 0 ⇒ 2 − 6k + 2 − 2k = 0 ⇒ k = Sustituyendo, tenemos que el plano pedido es: − x + 4 y + 2 z − 7 = 0 c) La ecuación de todos los planos que contienen a la recta r es:

1 2

x + 2 y − 5 + k (−3 x + 2 z + 3) = 0 ⇒ (1 − 3k ) x + 2 y + 2k z − 5 + 3k = 0 Elvector normal de este plano (1 − 3k , 2, 2k ) y el vector normal del plano π (2,1, −1) , tienen que ser paralelos, luego sus componentes tienen que ser proporcionales. 1 − 3k 2 2k = = ⇒ k = −1 2 1 −1 Sustituyendo, tenemos que el plano pedido es: 4 x + 2 y − 2 z − 8 = 0

x + y − z − 3 = 0 Considera el punto P (3, 2, 0) y la recta r ≡   x + 2z + 1 = 0 a) Halla la ecuación del plano que contiene a Py a la recta r. b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r. MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) La ecuación del haz de planos que contiene a la recta r es: x + y − z − 3 + k ( x + 2 z + 1) = 0 . De todos esos planos nos interesa el que pasa por el punto P (3, 2, 0) , luego: 1 3 + 2 − 0 − 3 + k (3 + 0 + 1) = 0 ⇒ k = − 2por lo tanto, el plano pedido tiene de ecuación: 1 x + y − z − 3 − ( x + 2 z + 1) = 0 ⇒ x + 2 y − 4 z − 7 = 0 2 b) El punto Q simétrico del punto P respecto de la recta r, está situado en un plano que pasando por el punto P es perpendicular a r y además la distancia que hay desde el punto P a la recta r es la misma que la que hay desde el punto Q hasta dicha recta.
P

M

Q

 x = −1 − 2t x+ y − z − 3 = 0  ⇒ r ≡  y = 4 + 3t Pasamos la ecuación de la recta a forma paramétrica r ≡   x + 2z + 1 = 0 z = t  Calculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a r. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (−2,3,1) Laecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: −2 x + 3 y + z + D = 0 . Como nos interesa el que pasa por el punto P (3, 2, 0) : −2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 0 + D = 0 ⇒ D = 0 ⇒ −2 x + 3 y + z = 0 Calculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: −2(−1 − 2t ) + 3(4 + 3t ) + t = 0 ⇒ t = −1 luego las...