Métodos Numéricos para la Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones en derivadas parciales

Métodos Numéricos para la Resolución de Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones en derivadas parciales


Referencias:
Nakamura - Métodos numéricos aplicados con software)
Hirsh - Numerical computation of internal and external flows. I)

INTRODUCCION
Referencia: Nakamura, pp.407-409

El diferencial total de una función diferenciable de varias variables se define por:



Lasecuaciones diferenciales ordinarias vinculan las derivadas de funciones de una variable. Los métodos estudiados para EDOs no son en general aplicables a las ecuaciones en derivadas parciales (EDP).
La solución numérica de las EDP es toda una disciplina; los problemas de mecánica de los fluidos, transmisión de calor, cálculo de tensiones y deformaciones en sólidos, etc. son expresados en términos deuna EDP.
Las grandes exigencias planteadas al hardware en la resolución de EDPs ha provocado que los métodos y algoritmos traten de explotar al máximo las particularidades del problema.

Por ello, existen textos completos sobre técnicas particulares, trucos, etc. muy vinculadas al problema específico. Esta situación, que podría interpretarse como negativa, muestra el interés y la vigencia de lasinvestigaciones sobre el tema.

Del conjunto de todas las posibles EDP, destacan las EDP de segundo orden, por por modelar un grupo importante de fenómenos. Su forma general es (en el caso bidimensional)



Definiciones

Si A,B,C,...S, etc. no son funciones de la ecuación se dice lineal.
Complementariamente, la EDP se califica de acuerdo a relaciones entre sus coeficientes,
SiLas EDP elípticas aparecen en problemas estacionarios de transmisión de calor, difusión de partículas o vibración de una membrana.
Las ecuaciones parabólicas típicamente resultan de analizar la evolución temporal de los problemas mencionados para ecuaciones elípticas, y otros.

Las ecuaciones de tipo hiperbólico son comunes en el análisis de transporte de masa en fluidos,fenómenos ondulatorios y otros procesos.

APROXIMACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Referencia : Hirsh, pp 161-183

Para la solución de las EDP pueden utilizarse una gran variedad de técnicas. Entre otras técnicas pueden mencionarse, los métodos de diferencias finitas, los métodos de elementos finitos, los métodos de volúmenes finitos, los métodos espectrales, etc.
Todos ellos tienen defensores ydetractores, en algunos casos irreconciliables. En realidad, cada uno de ellos puede ser el mejor según la aplicación que se considere. Por ser el más sencillo, y no requerir transformar la EDP, se analizará el método de las diferencias finitas (MDF).
El MDF se basa en propiedades de la expansión en serie de Taylor. Requiere cierta regularidad en la grilla de trabajo, lo que complica de cierta manerael tratamiento de geometrías irregulares.
La idea básica ya fue presentada. Consiste en aproximar la derivada parcial por cocientes incrementales.

Para finito, y suficientemente regular

La aproximación de se dice de primer orden, y se denota si

El uso del cociente incremental no es más apropiado que otras opciones. Por ejemplo:

Más en general, y para una función definida sobreuna red (también denominada grilla, retícula, etc.) uniforme (o sea, con constante), podría escribirse

Supóngase que se utilizan sólo los primeros tres sumandos.
Desarrollando por Taylor cada una de las expresiones



Imponiendo ; ;

En este caso, la búsqueda se orientó a una expresión explícita. Podría haberse intentado una expresión implícita que es de dos puntos y de segundo orden.Por lo que los valores de resultan de resolver un sistema, en el cual todos los valores funcionales de la grilla intervienen.
Con tres puntos, se puede lograr una estimación de cuarto orden

Los esquemas implícitos tienen como ventaja el mayor orden de aproximación frente a un equivalente explícito. Como contraparte, exigen resolver un sistema de ecuaciones intermedio. Los esquemas...