Los numeros reales

LOS NÚMEROS REALES

Tratándose de expansiones decimales, los números racionales corresponden a aquellos que son finitas o infinitas periódicas, mientras que los números irracionales corresponden a expansiones infinitas no periódicas.

El conjunto IR de los números reales se define como:

Un número real es cualquier expansión decimal, sea esta finita o infinita, periódica o no.
Unnúmero real es cualquier expansión decimal, sea esta finita o infinita, periódica o no.
Entonces, en términos de expansión decimal, la respuesta a ¿qué es un número real? Es la siguiente:

Desde luego, y por definición, se tiene la siguiente cadena de inclusiones:

Desde el punto de vista aritmético y de orden, el conjunto IR goza de las mismas propiedades que el conjunto Q, ya que estándefinidas en IR una suma, un producto y una relación de orden, cuyas propiedades enlistaremos en esta sección.
Lo que verdaderamente distingue a IR de Q es el hecho de que el conjunto IR se es un continuo, en el sentido siguiente.

Los números reales llenan la recta numérica.

Los números reales llenan la recta numérica.


Es decir, a cada punto de la recta numérica le corresponde unnúmero real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta numérica.
A este postulado se le llama Axioma de continuidad de IR.

Propiedad aritmética y de orden de IR.
Suma:
S.1. (Propiedad asociativa)
Si
S.2. (Propiedad de existencia de neutro aditivo)
Si
S.3. (Existencia del inverso aditivo)
Cualquiera que sea existe un número que se denota comocon la propiedad de que:
S.4. (Propiedad conmutativa)
Si
Multiplicación
M.1. (Propiedad asociativa)
Si
M.2. (Existencia del idéntico multiplicativo)
Si
M.3. (Existencia del inverso multiplicativo para reales no nulos)
Si , entonces existe un número real que se denota como, con la propiedad de que
M.4. (Propiedad conmutativa)
Si
D.1.(Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma)
Si a, b, c, con números reales cualquiera, a (b+c) = ab + ac

Propiedades de orden

Propiedad de tricotomía
Dados dos números reales distintos a, b, satisface una y solo una de las relaciones siguientes.
i) ;
ii)
Propiedad de tricotomía
Dados dos números reales distintos a, b, satisface una y solo una de lasrelaciones siguientes.
iii) ;
iv)
La relación de orden entre puntos de la recta numérica, definida, como en los casos de IN, Z, Q en términos de precedencia, satisface las siguientes propiedades.

Propiedad de densidad
Dados dos números reales distintos, siempre es posible encontrar un tercero entre ellos.
Propiedad de densidad
Dados dos números reales distintos, siempre esposible encontrar un tercero entre ellos.

Sean a, b, c, d, números reales cualesquiera:
Si
Si
Su
Si
Si
Su

NOTACIÓN PARA ALGUNOS NÚMEROS MUY GRANDES O MUY PEQUEÑOS

En las aplicaciones de las matemáticas son muy frecuentes los números muy grandes o muy pequeños.
Por ejemplo el número
1 080 000 000
Corresponde a la cantidad de kilómetros que recorre la luz en una hora,mientras que el número
0.00000000006096
Es el diámetro en centímetros del núcleo del átomo del carbono.
Por ello, es convenito dispones de una notación adecuada para escribir este tipo de números.
Además esta excreción es útil para manejar las expresiones decimales.
A la operación de multiplicar un número por sí mismo se le llama potenciación. Si mismo 10 veces por ejemplo el número 10 semultiplica por sí mismo seis veces, el resultado se llama diez elevado a la sexta potencia, y se escribe así:
106 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 1 000 000
En número pequeño que aparece arriba recibe el nombre de exponente y el número al que se le está aplicando la potencia se le llama base. Así, en las expresiones siguientes se indican base y exponente.
57 = 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5...