logica y teorias de conjuntos

: teoría de conjuntos y lógica.
La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante eluso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y, O; ENTONCES, SI SÓLO SI...etc.
Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Un conjunto de palabras del cual tiene sentido decir que es Verdadero o falso. Por ejemplo:
Hoy es viernes.
Ayer llovió.
Hace frío.
A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuardiversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:


p p'
V F
V F
A continuación se describen lasprincipales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:
Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
Se escribe p Ù q, y se lee "p y q".


p q p Ù q
V V V
V F F
F V F
F F F


Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa encaso contrario. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q".


p q p Ú q
V V V
V F V
F V V
F F F

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.


p q p Ú q
V V F
V F V
F V V
F F F

Condicional: es aquellaproposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p Þ q, y se lee "si p entonces q".


p q p Þ q
V V V
V F F
F V V
F F V


Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p Û q, y se lee "si y sólo si p entonces q".p q p Û q
V V V
V F F
F V F
F F V



Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre V independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ú p'.

Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre F independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: pÙ p'.

Una paradoja o contradicción es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa".


Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivalea decir que la proposición p Û q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones p Þ q y q' Þ p' son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo.

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional.
Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A, B... los conjuntos ypor las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto). Por ej: La disyunción es la unión, la conjunción es la intersección... el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología. Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos...