Lista 1

Fmat.cl, Foro Matem´tico c 2008
a

Los mejores “datitos” para Teor´ de Conjuntos,
ıa
Diferencia Sim´trica
e

Introducci´n
o
Definitivamente, en la Teor´ de Conjuntos, la Operaci´n Top a miparecer es la “Diferencia
ıa
o
Sim´trica,” que ya varios deben conocer en sus dos versiones:
e
r A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
r A △ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

De esta operaci´n son claves lossiguientes hechos:
o
Propiedad 1. A △ ∅ = ∅ △ A = A.
Esta propiedad nos indica que el conjunto vac´ act´a como “neutro” (que no hace nada, que lo
ıo
u
deja igual) para la operacion “triangulito,” osea que el vac´ con A, o A con vac´ nos deja siempre
ıo
ıo,
A cuando los operamos con triangulito.
Propiedad 2. A △ A = ∅.
Esta propiedad nos dice que el conjunto A es “autoinvertible.” Por ahoraseguramente vaga idea
tienen de lo que es eso, pero para que vayan intuyendo, sirve para echarse a la A, o a un conjunto
cualquiera, cuando este a ambos lados de una igualdad. (Lo veremos acontinuaci´n en la Propiedad
o
4, as´ que no desesperarse con el lenguaje un poco raro.)
ı
Propiedad 3. (A △ B) △ C = A △ (B △ C).
Esta propiedad se llama “asociativa,” y es otra ayuda m´s para poderfundamentar la propiedad
a
mas importante con la que trabajar´n, que ser´ la Propiedad 4. (B´sicamente las propiedades 1,2 y
a
a
a
3 son s´lo para poder justificar formalmente la Propiedad 4.)
oPropiedad 4. A △ X = A △ Y =⇒ X = Y.
Esta propiedad se llama cancelativa. B´sicamente, en buen chileno, ustedes pueden echarse las
a
A a ambos lados de una igualdad. (Se pueden echar las cosasrepetidas, siempre y cuando esten
operando con triangulito.)
Demostraci´n.
o
A△X
A △ (A △ X)
(A △ A) △ X
∅△X
X

=
=
=
=
=

A△Y
A △ (A △ Y )
(A △ A) △ Y
∅△Y
Y

A△( )
(aplicandoPropiedad 3)
(aplicando Propiedad 2)
(aplicando Propiedad 1)

Pero la verdad bien poco se logra si no se ve a la famosa Propiedad 4 en acci´n, adem´s de unirse
o
a
a las otras 3 si es necesario,...