Limites Y Derivadas

Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Otra visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Como vimos en el capítuloanterior, el límite de una función es el valor L que parece tomar f(x) para cierto valor de la x llamado x0, sin embargo en el mundo de las matemáticas necesitaremos una definición formal querepresente lo que acabamos de decir. para esto podemos hacer un primer intento y decir que:
Cuando una función f(x) toma valores muy próximos a L cada vez que tomamos una x suficientemente cerca de x0 se dicequeel límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y se escribe:


Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta. Su definición se basaen dos parámetros, el primero es la δ (delta) que representa que tan cerca se encuentra x de x0, y el otro es ε (épsilon) que representa que tan cerca se encuentra f(x) de f(x0) o mejor dicho, ya quevimos en el capítulo anterior que f(x0) puede no existir,que tan cerca se encuentra de L:
"El límite de f(x) cuando x tiende a x0 es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existeun número real δmayor que cero tal que si la distancia entre x y x0 es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor queε".

Esta definición, se puede escribir utilizandotérminos matemáticos y de manera compacta:


Explicación[editar]
Tomando la última definición escrita y dividiéndola, podremos observar el significado de la misma. En primero lugar tenemos la definiciónformal que subdividiremos en dos partes. La definición es:


La primera parte dice:" ", lo cual significa que siempre debe existir una δ sin importar que ε tomemos, con la condición de que ambos seanpositivos. Esta existencia tiene como primer resultado que sin importar que ε tomemos, siempre existirá una δ, y debido a esta dependencia la mayoría de las veces será posible encontrar unaδ(ε), donde...