leyes de kepler

LEYES DE KEPLER
1. Ley “Los planetas giran en órbitas elípticas alrededor del Sol, con este en uno de sus focos”.
Por medio de la ecuación de la ley de gravitación universal

Seobtiene que un planeta se mueve con una aceleración dada por
El momento angular instantáneo () de una partícula se obtiene por medio del producto cruz entre la vector posición instantánea y elmovimiento instantáneo que lleva la partícula.

Donde es el vector que va desde el sol hasta el planeta y es la cantidad de movimiento lineal. El momento angular es una constante lo cual indica que elmovimiento de los planetas es central y en un plano.
Se realiza un producto cruz entre la aceleración y el momento angular y se obtiene



Luego
Donde = 0 por lo tanto,
Se desarrolla eltriple producto cruz y se obtiene,
=

El momento angular es constante entonces,

Se simplifica el tiempo y se tiene,

Se integra y se obtiene,


Se realiza el producto punto por el vectorde posición, se tiene,

Donde por lo tanto

Donde es el ángulo que forman r y c
Se despeja r se obtiene

Se divide por y se tiene
=
Entonces
es la excentricidad, para unaelipse la excentricidad es la excentricidad de la tierra es 0.01671
2. Ley “el radio vector de un planeta y el sol barre áreas iguales en tiempos iguales”
Según la segunda ley de la dinámica diceque



El vector unitario es se reemplaza

El producto cruz entre dos vectores es 0 por lo tanto y = 0 es una constante.
Se reemplaza y se tiene
Se tiene que el se deriva y se obtieneSe tiene que entonces


La cantidad de movimiento angular es constante, por lo tanto se tiene que recorrer áreas iguales en tiempos iguales.
3. Ley: “los cuadrados de los periodos de losplanetas alrededor del sol son directamente proporcional al cubo de las distancia promedio de los planetas al sol”
El periodo es el tiempo que se demora en dar una vuelta.
Se aplica la segunda...