La Pichula Morada

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
´
FACULTAD DE MATEMATICAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Profesor: Luis Zegarra (lzegarra@mat.puc.cl)
Ayudante: Nicol´s Morales (nvmorale@uc.cl)
a

Ayudant´ 5
ıa
MAT230E - C´lculo III
a
20 de Abril de 2012
1. Calcule los jacobianos de los siguientes cambios de variable:
a) De coordenadas rectangulares a otras coordenadas rectangulares.
b)Desde coordenadas rectangulares a polares.
c) Desde coordenadas rectangulares a esf´ricas.
e
d) Desde coordenadas rectangulares a cil´
ındricas.
e) Desde coordenadas cil´
ındricas a esf´ricas.
e
Soluci´n:
o
a) En este caso el cambio de coordenadas est´ dado por:
a
x(u, v ) = au + bv
y (u, v ) = cu + dv
Con esto es evidente que el jacobiano es:
∂ (x, y )
=
∂ (u, v )

ab
cd

= ad− bc

Es importante tener en cuenta de que el cambio de variables solo es invertible si el
jacobiano es distinto de 0, por lo que en un cambio de variables de este estilo se requiere
que ad − bc = 0, en otros cambios el jacobiano no ser´ siempre 0 (ya que suele depender de
a
las variables), por lo que no es necesario tener esto en cuenta al integrar para jacobianos
dependientes de lasvariables de integraci´n.
o
b) En este caso el cambio de coordenadas est´ dado por:
a
x(r, θ) = r cos(θ)
y (r, θ) = r sin(θ)
Podemos verlo gr´ficamente de esta forma:
a

Donde tenemos que θ ∈ [0, 2π ], luego el jacobiano queda como:
∂ (x, y )
=
∂ (r, θ)

cos(θ) −r sin(θ)
sin(θ) r cos(θ)

=r

c) En este caso el cambio de coordenadas est´ dado por:
a
x(r, θ, φ) = r cos(θ) sin(φ)
y(r, θ, φ) = r sin(θ) sin(φ)
z (r, θ, φ) = r cos(φ)
Podemos verlo gr´ficamente de esta forma:
a

Donde tenemos que θ ∈ [0, 2π ] y φ ∈ [0, π ], luego el jacobiano queda como:
∂ (x, y, z )
=
∂ (r, θ, φ)

cos(θ) sin(φ) −r sin(θ) sin(φ) r cos(θ) cos(φ)
sin(θ) sin(φ) r cos(θ) sin(φ) r sin(θ) cos(φ)
cos(φ)
0
−r sin(φ)

= −r2 sin(φ)

Donde tenemos que tomar el valor absoluto deljacobiano, es decir r2 sin(φ), puesto que
sin(φ) es siempre positivo en el intervalo donde est´ definido.
a
d) Este caso es muy similar al cambio de coordenadas rectangulares a coordenadas polares
y est´ definido as´
a
ı:
x(r, θ, z ) = r cos(θ)
y (r, θ, z ) = r sin(θ)
z (r, θ, z ) = z
Gr´ficamente esto se ve as´
a
ı:

Luego el jacobiano queda como:
cos(θ) −r sin(θ) 0
sin(θ) r cos(θ) 0
0
01

∂ (x, y, z )
=
∂ (r, θ, z )

=r

e) Este cambio de coordenadas es algo as´ como pasar las coordenadas r y z nuevamente a
ı
coordenadas polares, lo que queda as´
ı:
r(ρ, θ, φ) = ρ sin(φ)
θ(ρ, θ, φ) = θ
z (ρ, θ, φ) = ρ cos(φ)
Entonces el jacobiano ser´
ıa:
∂ (r, θ , z )
=
∂ (ρ, θ, φ)

sin(φ) 0 ρ cos(φ)
0
1
0
cos(φ) 0 −ρ cos(φ)

= −ρ

Donde tomamos el valor absoluto ρ2. Haciendo un cambio de variable adecuado, c´lcule las siguientes integrales:
a
a) Sea S el tri´ngulo limitado por la recta x + y = 2 y los ejes coordenados.
a
e(y−x)/(x+y) dxdy
S

b) Sea S el paralelogramo con v´rtices (π, 0), (2π, π ), (π, 2π ) y (0, π ).
e
(x − y )2 sin2 (x + y )dxdy
S

√
3

√

9−y 2

c)

18−x2 −y 2

(x2 + y 2 + z 2 )dzdxdy

√
0

x2 + y 2

0d) Sea D la regi´n limitada por x2 + y 2 = 4 y por x2 + y 2 = 9.
o
x2 + y 2 dxdy
D
1
e) Sea D definido por x > 0, y > 0, 4 <
positivos y se tiene que 0 ≤ α < β .

x2
a2

D

+

y2
b2

< 1, α <

y
x

< β , donde a y b son n´meros
u

b 2 x 2 − a2 y 2
dA
x2

f) Sea Σ la regi´n determinada por 1 < x2 − y 2 < 4, 1 < xy < 3 y x2 + y 2 < z < 2(x2 + y 2 ).
o

Σ

xyz
dV
−y4

x4

Soluci´n:
o
a) Si consideramos el cambio de variable:
v+u
v−u
; y=
2
2
Tenemos que las rectas x = 0 e y = 0 se convierten en las rectas u = v y u = −v
respectivamente, mientras que la recta x + y = 2 se convierte en v = 2, generando
una nueva regi´n de integraci´n T (que tambi´n es un tri´ngulo), luego tenemos que el
o
o
e
a
jacobiano de esta transformaci´n es −1/2,...