la historia

 Funciones reales
Las funciones son las herramientas principales para la descripción matemática de una situación real. Todas las fórmulas de la Física no son más que funciones: expresan cómo ciertas
magnitudes (por ejemplo el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la presión).
El concepto de función es tan importanteque muchas ramas de la matemática moderna se caracterizan por el tipo de funciones que estudian. No es de extrañar, por ello, que el concepto de
función sea de una gran generalidad. Además, se trata de uno de esos conceptos cuyo contenido
esencial es fácil de comprender pero difícil de formalizar.
2.1 Definición. Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es una regla que a cada
elemento deA asocia un único elemento de B.
En esta definición la dificultad radica en precisar matemáticamente lo que se entiende por
regla. Como solamente vamos a trabajar con funciones elementales considero que no es necesario dar más precisiones.
Observa que una función son tres cosas: el conjunto A donde está definida, el conjunto B
donde toma valores y la regla que la define. En este curso estamosinteresados principalmente
en funciones entre conjuntos de números reales, es decir, A y B son subconjuntos de R; con
frecuencia B D R. Estas funciones se llaman funciones reales de una variable real.
33Funciones reales 34
Convenio. En lo que sigue solamente consideraremos funciones reales y, si no se especifica
otra cosa, se entiende que B D R.
Por tanto, para darnos una función nos deben decir,en principio, el subconjunto A de R
donde suponemos que la función está definida y la regla que asigna a cada número de A un
único número real. El conjunto A recibe el nombre de dominio de la función.
Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas son f , g y h,
pero cualquiera otra es también buena. Si f es una función y x es un número que está en su
dominio,se representa por f .x/ (léase “f de x” o, mucho mejor, “f evaluada en x” o “el
valor de f en x”) el número que f asigna a x, que se llama imagen de x por f .
Es muy importante distinguir entre f (una función) y f .x/ (un número real).
El símbolo f W A ! R se utiliza para indicar que f es una función cuyo dominio es A (se
supone, como hemos dicho antes, que A es un subconjunto de R). También esfrecuente usar
el simbolismo x 7! f .x/, .x 2 A/.
~ Es importante advertir que las propiedades de una función dependen de la regla que la defi-
ne y también de su dominio, por ello dos funciones que tienen distintos dominios se consideran
distintas funciones aunque la regla que las defina sea la misma.
2.2 Definición (Igualdad de funciones). Dos funciones f y g son iguales cuando tienen igualdominio y f .x/ D g.x/ para todo x en el dominio común.
Notemos también que aunque estamos acostumbrados a representar a las funciones mediante fórmulas, no siempre es posible hacerlo.
2.3 Ejemplo. Consideremos las funciones siguientes.
a) f W R ! R la función dada por f .x/ D x
2
.
b) gW RC ! R la función dada por g.x/ D x
2
.
c) hW R ! R la función dada por h.x/ D
(
1; si x 2 Q
1; six 2 R n Q
d) Sea f .x/ D
x
3 C 5x C 6
x
2 1
Según lo antes dicho, las funciones en a) y b) son distintas. De hecho tienen propiedades distintas. Observa que la función definida en b) es creciente y la definida en a) no lo es.
La función definida en c) es llamada función de Dirichlet. Nótese que no es fácil calcular
los valores de dicha función porque no siempre se sabe si un número realdado es racional o
irracional. ¿Es eC racional? Pese a ello la función está correctamente definida.
En d) no nos dan explícitamente el dominio de f por lo que se entiende que f está definida
siempre que f .x/ tenga sentido, es decir, siempre que, x
2 1 ¤ 0, esto es, para x ¤ ˙1.
El convenio del dominio. Cuando una función se define por una fórmula “f .x/= fórmula” y
el dominio no es explícito,...