Introduccion al calculo diferencial y al calculo integral

PROBLEMAS RESUELTOS
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL Y AL CÁLCULO INTEGRAL

1. Calcular la derivada de:

𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 4 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + 4

SOLUCIÓN
Aplicamos la formula miembro a miembro:

2𝑥 4 → 4(2𝑥4−1 ) = 8𝑥 3
𝑥 3 → 3(𝑥 3−1 ) = 3𝑥 2
−𝑥 2 → 2(−𝑥 2−1 ) = −2𝑥
4→0

Por lo tanto la derivada de la función será:

𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 4 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + 4

𝒇′(𝒙) = 𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

1

2. Calcula mediante la fórmulade la derivada de una potencia

𝑓(𝑥 ) =

5
𝑥5

SOLUCIÓN
Acomodamos la expresión:

𝑓(𝑥 ) =

5
= 5𝑥 −5
5
𝑥

Aplicamos la derivada:

𝑓′(𝑥 ) = (−5)5𝑥 −5−1
𝑓 ′(𝑥) = −25𝑥 −6

Por lo tanto la derivadaserá:

𝒇′(𝒙) = −

2

𝟐𝟓
𝒙−𝟔

3. Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia

3

𝑓(𝑥 ) = √𝑥 2 + √𝑥
SOLUCIÓN
Llevamos la expresión a exponentes:

𝑓 (𝑥 ) =

3

√𝑥 2

+ √𝑥 =

2
𝑥3

+

1
𝑥2Calculamos la derivada:
2
𝑥3

2 2
2 1
→ 𝑥 ⁄3−1 = 𝑥 − ⁄3
3
3

1
𝑥2

1 1⁄ −1 1 −1⁄
→ 𝑥 2 = 𝑥 2
2
2

Construimos la derivada:

2 −1⁄
1 −1⁄
3
𝑓′(𝑥 ) = 𝑥
+ 𝑥 2
3
2

𝑓

3

′ (𝑥 )

=

2
3

3 √𝑥

+

1
2√𝑥

4. Laposición de una partícula en coordenadas cartesianas está dada por la
ecuación:

𝑟⃗ = 𝑥 (𝑡)𝑖̂ + 𝑦(𝑡)𝑗̂ + 𝑧(𝑡)𝑘̂
Donde

𝑥 (𝑡) = 5 + 6𝑡 2 , 𝑦(𝑡) = 3𝑡, 𝑧(𝑡) = 6
t en segundos, x, y, z en metros

Determinar la velocidad y rapidez para t = 1 s.
 Determinar la aceleración y su módulo para t = 1 s.
SOLUCIÓN
a) La velocidad instantánea es
𝑑𝑟⃗ 𝑑[(5 + 6𝑡 2 )]
𝑣⃗ =
=
= 12𝑡𝑖̂ + 3𝑗̂
𝑑𝑡
𝑑𝑡
La magnitud de ves
𝑣 = √122 + 32 = √153 = 12.4 𝑚/𝑠

b) La aceleración es:
𝑎⃗ =

𝑑𝑣⃗
= 12𝑖̂ 𝑚/𝑠 2
𝑑𝑡

Cuyo módulo es:
𝑎 = 12 𝑚/𝑠 2

4

5. La aceleración de una motocicleta está dada por:
𝑎(𝑡) = 1,5𝑡 − 0,12𝑡 2
La motoestá en reposo en el origen con t=0
a) Obtenga la posición y velocidad en función de t.
b) Calcule la velocidad máxima que alcanza.

SOLUCIÓN
a) Para encontrar v(t)
𝑎=

𝑑𝑣
⟹ 𝑑𝑣 = 𝑎 ∙ 𝑑𝑡
𝑑𝑡

𝑑𝑣 =(1,5𝑡 − 0,12𝑡 2 )𝑑𝑡

Integrando con 𝑣0 = 0 y 𝑡0 = 0:
1

𝑣 = ∫ (1,5𝑡 − 0,12𝑡 2 )𝑑𝑡 = 0,75𝑡 2 − 0,4𝑡 3
0

Para encontrar x(t)
𝑣=

𝑑𝑥
= 0,75𝑡 2 − 0,4𝑡 3 ⟹ 𝑑𝑥 = (0,75𝑡 2 − 0,4𝑡 3 )𝑑𝑡
𝑑𝑡

Integrando con 𝑥0...