Intervalos de Confianza

INTERVALOS DE CONFIANZA

INTERVALOS
DE
CONFIANZA

La estimación puntual no tiene mucho valor ya que
habitualmente no se dispone de una medida del error cometido
en la estimación; es mejor estimar los parámetros mediante
intervalos de confianza.

1.1.- Intervalo de Confianza para la media μ cuando σ2 es
conocida.

Donde :



P  z α  z  z α   1  α

1 
2
 2

x ~ N



Sabemos que :

nivel de confianza

2 

n 


μ, σ



x-μ
P z 
 σ  z(1   )


2
2
n




  1






P xz


2


 ·
(1  )

· σ

n


El intervalo P   x  z
·

(1 )
2


 xz

2

σ
n

 x z



  1
n 


σ

·
(1 )
2



n 


σ

es un intervaloaleatorio que contiene al parámetro
desconocido μ , y se llama Intervalo de Confianza.

¿ Qué significa la probabilidad 1 -  ?
Significa que si tomamos muchas muestras
de tamaño n y para cada muestra
calculamos
xz

·
(1 )
2

σ

n

y

· σ
(1 ) n
2
(1- ) % de los
x z

es de esperar que el
intervalos así construidos contengan a la
verdadera media μ

1

Ejemplo:Si consideramos 1 -  = 0,99

Sea X ~ N (μ, 100) y sea n = 100 y X= 30
Sea 1-  = 0,95

entonces

z
2 = 1.96

entonces  = 0,05 y

xz
· σ
(1  )
n
2

Luego :

x z

(1 )
2

σ
n




2

 0,005  z
2

L.I  30 - 2.57

·

·

 30  1.96

· 10
 31,96
10

Luego el ancho es 31,96 -28,04 = 3,92

 27 , 43

10

10
 28,04
10

 30 - 1.9610

 2.57

L.S  30  2,57

·

10

 32,57

10
y el ancho es 5,14

Se dice que un intervalo es más preciso que
otro, si su "ancho" es menor.

2.2.- Intervalo de Confianza para la media μ

Precisió
Precisión: Corresponde a la semi-suma de

σ2 se estima a través de la varianza muestral s2

los limites del intervalo, es decir : L.S.  L.I
2
Si n es fijo y aumentamos laconfianza
(o sea aumentamos 1 -) aumenta el ancho
del intervalo.

Luego : Se tiene un intervalo menos preciso.
¡Si queremos mantener la confianza para
ganar en precisión se debe aumentar el
tamaño de la muestra!

x

= 0,125 ; s = 0,085 ;

 = 0,005
1 -  = 0.99 ;
y 1-


2

Luego :

 

x  μ
~ t(n  1)
s
n



x μ
P  t  α  
t  α 
s
 1

  1 2

2 



n


De donde : L.I  x  t






  1 α



s
s
; L.S x  t α 

 1  n
1α  n

2
2 


·

·

.cii 31 .125 .085

Ejemplo:
n = 31;

cuando σ2 es desconocida

Variable | Obs Mean Std. Err. [95% Conf. Interval]
-------------+--------------------------------------------------------------------|
31
.125
.0152665 .0938217.1561783

2

= 0.995 ; t0.995(30) = 2.75
.cii 31 .125 .085, level(99)

Luego :
L.I = 0,125 - 2.75

0,085
 0.125  0.04198  0,083
31

Variable | Obs Mean Std. Err.
[99% Conf. Interval]
-------------+-----------------------------------------------------------------|
31
.125 .0152665
.0830173 .1669827

L.S = 0,125 + 0.04198 = 0,16698

2

. describe
Contains data fromA:\edad.dta
obs:
18
vars:
2
2 May 2004 18:08
size:
126 (99.9% of memory free)
----------------------------------------------------------------------------storage display value
variable name type format
label
variable label
-----------------------------------------------------------------------------sexo
byte %8.0g
edad
int %8.0g-----------------------------------------------------------------------------Sorted by:

. ci edad
Variable | Obs
Mean Std. Err.
[95% Conf. Interval]
-------------+--------------------------------------------------------------edad | 18
46.11
2.437
40.96 51.25

Como :
3.3.- Intervalo de Confianza para la proporción P

Se sabe que p ~ N (P,

Luego Z =

p-P
PQ
n

PQ
)
n

~ N ( 0,1)



P  z α  z  z α   1  α
 (1...